計算機圖形學之矩陣變換

十六呀發表於2019-03-21

計算機矩陣

重點是理解矩陣的含義：矩陣其實是一種座標系的轉換

理解矩陣的幾何功能:

矩陣是一種線性變換（線段變換後仍是線段，並且原點不會改變）
矩陣是一種對映，對映可以是一對一，也可以是一對多
矩陣是一種空間變換，每一種矩陣都是有本身的幾何意義，而不是單純的數字組合

理解矩陣的形式含義（矩陣在左，向量在右）：

方陣滿秩，是進行當前空間的座標變換，不會進行維度的升高和降低
M×N(M>N),這種矩陣是一種升維矩陣，幾何意義如3×2，就如同把一個平面進行一個方向維度的延展（當秩為2時），變成一個三維的空間，當然之前空間中的點（x,y）在提升維度的過程中在三維空間中還是一個平面分佈，只是多了一個值全相等的第三個維度的值而已
M×N(M<N),這是一種降維矩陣，幾何意義如2×3（當秩為2時），是把三維的向量進行一個維度的壓縮，擠壓成一個平面，這個時候當然會出現很多個點壓縮到一個二維座標的情況
方陣不滿秩，其實和之前是一樣的，不滿秩就說明這個維度是虛的，沒什麼用，如果秩是一的話就是擠壓成一條線。

一.平移矩陣

1.1二維平移矩陣

形式：平移矩陣的形式是什麼樣的呢。

一定是一個滿秩的矩陣，因為我們並不會進行維度的變換。座標軸的方向和長度是不變的，因為矩陣運算的本質是改變的參考系的X，Y。
尋找矩陣：

那麼什麼樣的矩陣能夠使得一個點進行平移操作呢，因為平移操作並不會改變參考系XY的方向和單位向量的長度，所以實際上，在當前的維度中，我們並不可能做到，為什麼呢？因為我們之前說過，矩陣的線性變換並不會改變原點的位置，矩陣是預設原點就是（0，0），在矩陣中填充任何的值都沒辦法改變這個約定熟成的決定。那麼怎麼做到呢，我們利用更高一維的矩陣，也就是三維矩陣進行操作，其實就是在更高的維度當中，解決我們的原點平移問題。

在這裡，需要說明的是，如果我們使用的是左矩陣右向量的形式，那麼構成我們全新的座標系的向量應當是矩陣中的列。我們在增加了一個新的維度，（dx,dy,1）,dx,dy就是我們要平移的數量，而增加一個1，是因為要保持秩是3，畢竟我們是從更高一層的維度來轉移我們的座標原點的。

從幾何意義來說，平移矩陣其實就是增加一個並不正交的Z軸（dx,dy,1）來進行一個座標軸的重新定義，繼而將座標轉換位置。

這裡需要注意的是，點V=（x,y,1），並不是再是我們二維座標上的點，而是以P的列向量為基所構成的三維空間上的點，只是說我們把二維的點變為V=（x,y,1）然後經過對應矩陣P的線性變換，最終得到平移點的位置。

這個過程可能有些難以理解，但是又是那麼的巧妙和精確。我們所構造的矩陣P，是通過新空間中基的列向量來構成的，其中的列向量中每一個座標值對應的數值，其實都是以我們原有的基x=(1,0),y=(0,1)來決定的。P這個矩陣，是一種線性的變換，是把用它座標系中表示的點的位置座標，來對映到原先我們確定它的時用的基的空間裡。

這其實就是一種投影運算，對V的每個座標值進行投影。

而p的逆矩陣，其實就是把我們的座標對映到P的座標中的運算。