《前端圖形學從入門到放棄》002 教練我想學矩陣

本文大綱

矩陣和線性變換是什麼？
webgl如何實現縮放和旋轉？
平移不是線性變換，那該怎麼辦？
webgl如何實現平移？

今天的主菜是“矩陣”

在上一篇中我們已經實現了使用webgl繪製圖形這個小目標《前端圖形學從入門到放棄》001 畫一個三角形
今天我們來探討一個新的話題矩陣
我們都知道空間中的點我們可以用向量表示，例如二維平面中的點（1，1）就表示第一象限的點：

而多個點就能組成圖形，這也是上一篇文章中我們說過的。
實際生產中這些圖形往往並不會固定在畫面中不懂，例如我們可以對圖形進行旋轉，縮放，移動。
實際上這個過程就是將圖形的頂點組進行了旋轉，縮放，移動，成為了新的頂點組，再由新的頂點組繪製成新的圖形。

例如我們要將由點A(0,0),B(1,0),C(0,1)組成的三角形放大一倍，那麼我們很容易知道放大後的點ÂḂĆ的座標

Âx = Ax2 = 02 = 0
Ây = Ay2 = 02 = 0
Ḃx = Bx2 = 12 = 2
Ḃy = By2 = 02 = 0
Ćx = Cx2 = 02 = 0
Ćy = Cy2 = 12 = 2

數學家嫌這一番操作太過麻煩，而點又是可以寫成向量形式的，要是能把操作簡化成Â = M*A的形式就再好不過了，於是

    ⎡ 2  0 ⎤  
Â = ⎪      ⎪ * A
    ⎣ 0  2 ⎦

真是一頓操作猛如虎，一句不懂二百五

解剖矩陣

舉證代表了一種計算，如上我們使用了一個二維矩陣

    ⎡ A  B ⎤  
    ⎣ C  D ⎦

與一個二維向量相乘，會得到一個新的二維向量，計算公式如下

    ⎡ A  B ⎤  ⎡x⎤  =   ⎡ A*x + B*y ⎤
    ⎣ C  D ⎦  ⎣y⎦      ⎣ C*x + D*y ⎦

當然矩陣也不僅僅可以和向量相乘也可以和舉證相乘，矩陣也不僅僅可以是22，也可以是33，更可以是n*m（n代表行數，m代表列數）。
兩個矩陣可以相乘只需要，前一個矩陣的列數和後一個矩陣的函式相等即可。
例如nm的舉證可以和ml的矩陣相乘，得到n*l的矩陣。
至於計算方法不是本文討論的內容，推薦觀看3blue1brown的視訊。

縮放矩陣與旋轉矩陣

而上文我們看到的矩陣

    ⎡ 2  0 ⎤  
    ⎣ 0  2 ⎦

就是一個把任意點放大兩倍的矩陣，更一般的，如果可以寫出縮放矩陣（n≠0）

    ⎡ n  0 ⎤  ⎡x⎤  =   ⎡ n*x ⎤
    ⎣ 0  n ⎦  ⎣y⎦      ⎣ n*y ⎦

相比於縮放還有一種操作也很高頻，那就是旋轉。前面沒有提到，矩陣的變換是線性的。什麼叫做線性？也是是說同樣的操作（放大2倍）對A點產生的效果，和對B點產生的效果（放大2倍）是一樣的。
所以對於旋轉矩陣我們也可以找到特殊的點進行求解，從而得到普遍適用的矩陣
對於x軸上的點a，旋轉ø角後，可以用下圖描述

我們就得到了二維平面上的旋轉矩陣

    ⎡ cosø  -sinø ⎤  
    ⎣ sinø   cosø ⎦

webgl和矩陣更配喲～

下面我們把矩陣和webgl結合起來，讓《前端圖形學從入門到放棄》001 畫一個三角形中我們實現的三角形可以旋轉與縮放
首先我們在頁面上新增兩個滑塊分辨實現旋轉與縮放

<canvas id="canvas" width="1000" height="1000"></canvas>
<div id="control">
    <input type="range" value=".75" min=".5" max="1" step="0.01" id="scale" value="0">
    <input type="range" value="0" min="0" max="360" step="0.01" id="rotate" value="0">
</div>

由於旋轉和縮放操作僅僅影響頂點位置，下面我們之需要修改頂點著色器即可：

<script id="vertex-shader-2d" type="notjs">
    attribute vec2 vertPosition;
    attribute vec3 vertColor;
    varying vec3 fragColor;
    // 額外申明兩個矩陣用於旋轉和縮放
    uniform mat2 scaleMatrix;
    uniform mat2 rotateMatrix;
    void main() {
      fragColor = vertColor;
      // 把頂點座標與矩陣相乘，得到旋轉和縮放後的新頂點，傳給gl
      gl_Position = vec4(scaleMatrix*rotateMatrix*vertPosition,0.0,1.0);
    }
   
  </script>

這兩個申明的變數也要在js中取出

...
var positionAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertPosition');
var colorAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertColor');
var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix');
var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix');
...

由於我們期望在滑動滑塊時，頁面實時變化，因此需要一個loop函式來完成這一切：

....
 gl.useProgram(program);
      gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 6);
      loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix);
    }
...

loop函式：

var scaleNode = document.querySelector("#scale");
var rotateNode = document.querySelector("#rotate");
function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix) {
      var angle = rotateNode.value/180*Math.PI;
      var scale = scaleNode.value;
      var sin = Math.sin(angle);//旋轉角度正弦值
      var cos = Math.cos(angle);//旋轉角度餘弦值
      var myArr = new Float32Array([cos, -sin, sin, cos,]);
      var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0, scale,]);
      gl.uniformMatrix2fv(rotateMatrix, false, myArr);
      gl.uniformMatrix2fv(scaleMatrix, false, scaleArr);
      gl.clearColor(0.75, 0.85, 0.8, 1.0);
      gl.clear(gl.COLOR_BUFFER_BIT | gl.DEPTH_BUFFER_BIT);
      requestAnimationFrame(function () {
        loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix);
      });
      gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 3);
    }

大功告成：

教練我動不了了

不知道各位看官有沒有發現，在矩陣這套線性變化下，我們沒辦法做平移操作。因為作為原點的o(0，0)不論乘以什麼矩陣，結果都還是自己。但是平移操作是日常工作中極其常見的操作，不能平移甚至無法實現拖拽！
難道圖形學之路就此gg？

但天無絕人之路，只要零點不是零點我就可以移動它，對於二維平面，我可以把它看作三維世界中一個不過原點的平面，原本的(x,y)變為(x，y，1)
此時就可以實現平移

根據上文，我們已經瞭解的矩陣知識，不難寫出

而這種通過n+1維實現了n維線性變換外加移動操作的變換，就被稱為齊次變換。

webgl和齊次變換更配喲～

下面我們繼續改造原有的webgl程式碼！
首先我們還需要加入兩個滑塊分別控制，圖形上下和左右運動

<div id="control">
   ...
    <input type="range" value="0" min="-0.5" max="0.5" step="0.01" id="tranX">
    <input type="range" value="0" min="-.5" max=".5" step="0.01" id="tranY">
  </div>

由於齊次變換將所有的矩陣都升維了，我們需要改造定點著色器。

<script id="vertex-shader-2d" type="notjs">
    ...
    // 將原本二維矩陣定義為三維
    uniform mat3 scaleMatrix; 
    uniform mat3 rotateMatrix;
    uniform mat3 transformMatrix;
    void main() {
      fragColor = vertColor;
      vec3 v = rotateMatrix*scaleMatrix*transformMatrix*vec3(vertPosition,1.0);
      // 由於我們之需要x，y把他們取出即可
      gl_Position = vec4(v.xy,0.0,1.0);
    }
   
  </script>

由於矩陣從二維變為三維，取出的變數也需要重新定義為三維：

...
var trMatrix = gl.getUniformLocation(program,'transformMatrix');
      var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix');
      var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix');
...
// 獲取滑塊
var tranXNode = document.querySelector("#tranX");
var tranYNode = document.querySelector("#tranY");
// 修改loop函式
...
    loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix);
}
function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix) {
...
    var myArr = new Float32Array([cos, -sin, 0 , sin, cos, 0,0,0,1]);
    var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0,0, scale,0,0,0,1]);
    var tranArr = new Float32Array([1,0,0,0,1,0,tranXNode.value,tranYNode.value,1]);
    // console.log(tranXNode.value);
    gl.uniformMatrix3fv(rotateMatrix, false, myArr);
    gl.uniformMatrix3fv(scaleMatrix, false, scaleArr);
    gl.uniformMatrix3fv(trMatrix, false, tranArr);
....