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一、旋轉

三維空間中繞座標軸旋轉

$$\begin{array}{l}{\mathbf{R}}_x(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ {\mathbf{R}}_y(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0& \sin \alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ {\mathbf{R}}_z(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

其中繞y軸旋轉比較特殊，可以通過向量叉乘去理解，x與y叉乘得到z，y與z叉乘得到x。這兩個都是符合叉乘，通過另外另外兩個軸右手逆時針旋轉得到。而y是z與x叉乘的結果，這兩個軸的右手旋轉方向和轉動方向相反，取負號。

三維空間中繞任意軸旋轉

對於任意一個旋轉 $R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )$,可以由 R_x(α) 、R_y(β) 和 $R_z(\gamma )$ 組成。其中，α 、β 和 γ 稱為尤拉角（Euler Angles）。通過下圖中的操作，可將飛機的頭朝向任意方向。
羅德里格斯公式（Rodrigues’ Rotation Formula）
在三維旋轉理論中，對於給定旋轉軸和旋轉角度，以Olinde Rodrigues命名的羅德里格斯公式是用於在空間旋轉向量的高效演算法。
旋轉軸為 n 軸，旋轉角為 α .預設旋轉軸過原點(若不過原點，可想將其移至原點，然後做線性變換後，在將其平移至原位置）。其中，羅德里格斯公式如下：

二、觀測變換（View/Camera Transformation）

上述三種變換即為MVP變換。
檢視變換View Transformation
    檢視變換是在擺一個照相機。如何才能確定一個相機的擺放

1 定義的三個要素

• 位置
• 觀測的方向
• 向上方向（正立，倒立的像）
  

2 進行檢視變換

約定：相機在原點，向上指向 Y，看向 Z 方向。

3 相機轉換步驟

將相機轉換到原點的標準方向

先將其平移至原點。
再求旋轉，先求得其逆變換再求逆，既可以得到變換矩陣（由於旋轉變換矩陣為正交矩陣，其逆就是其轉置）

總結

投影變換（Rrojection Transformation）

1 投影變換的分類

其中，人眼成像類似於透視投影（右圖）；正交投影（左圖）常用於工程製圖。

透視投影是在一個點投射成四稜錐形成；正交顯示若將相機放於無限遠，遠、近平面將無限接近。

2、正交投影

（ 一 ）3D化2D方法：

下圖將去除z軸，投影移至$[-1,1{]}^2$,約定俗成。

（ 一 ）3D方法：

定義一個空間中的立方體，將其對映成標準立方體$[-1,1{]}^3$中。“先平移再縮放”。
z軸用遠和近表示

變換矩陣

座標系選擇不同，會導致結果不同。

三 透視投影

1. 越遠的物件越遠
2. 平行線不再相交

如何進行透視投影？（難點）

簡單說，就是把這個Frustum的遠平面f擠成同近平面n一樣大的平面，然後進行正交投影。
約定：
3. 近平面不變
4. 遠平面f的中心點不變
5. Z值仍為f

關於遠平面擠壓後坐標的變化,（通過相似三角形算出）等值關係：

在齊次座標中，利用上述相似關係
$$y^{\prime }=\frac{n}{z}y{x}^{\prime }=\frac{n}{z}x\text{ (similar to y’) }$$
$$\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)\Rightarrow {\left(\begin{array}{c}nx/z\\ ny/z\\ \text{ unknown }\\ 1\end{array}\right)}^{\begin{array}{l}\text{ mult. }\\ \text{ by }z\\ ==\end{array}}\left(\begin{array}{c}nx\\ ny\\ \text{ still unknown }\\ z\end{array}\right)$$
上述變換可以用矩陣表示如下，可以確定出變換矩陣的三行

如何去確定剩下的一行呢？通過以下
1. 利用近平面的點不變性 近平面上的點在經過上述變換後坐標不變
計算出第三行的前兩個問號，得出一個等式$An+B=n^2$：

2. 利用遠平面的點，Z座標值不變性,得出一個等式$An+B=f^2$：

聯立上兩式即可得

Question：對於中間任意一點（x,y,z），在經過擠壓後（將其變為立方體後），變換後的Z值會靠近遠平面還是靠近近平面？
Answer：會更大一些，乘以變換矩陣即可得到結果。