分段函式（Piecewise Functions）

在前一章《[數字影像學筆記] 4.直方圖變換1》中所提到幾種針對直方圖的變化方法，基本上都是針對 $[0,255]$ 全部灰度值的變化，然後我們在實際的使用中也許並不需要對全部的灰度值進行變化，比如我們只想調整其中一部分的強度，或者只顯示其中的一部分。

那麼這種方法就是分段線性變化，有的地方也稱為分段濾波函式，或者直接稱呼它的數學定義分段函式。依據我們小學知道的數學定義，分段函式可以有多個不同的函式組成。

所以寫成公式的話，就表示成如下的樣子：

$$f(X)=\{\begin{array}{cc}{F}_1\left(x_0\right)& 0\le x_0<I_0\\ F_2\left(x_1\right)& I_0\le x_1<I_1\\ \cdots & \cdots \\ F_n\left(x_n\right)& I_n\le x_n\le 255\end{array}$$

分段線性變化函式（Piecewise Transformation Function）

區域性對比度拉伸（Contrast Stretching）

在岡薩雷斯的教材裡，提到了第一個簡單的Sample，好像是把花粉還是種子的圖片進行對比度拉伸。原圖是一張對比度非常低的圖片，很多圖片中的細節看不清楚，因此我們使用一個簡單的分段函式，對原圖進行對比度拉伸。

$$f(X)=\{\begin{array}{cc}0.25\ast x& 0\le x<90\\ 1.25\ast x& 90\le x<160\\ 0.25\ast x& 160\le x_n\le 255\end{array}$$

def piecewise_transformation(image):
    row, col, shape = image.shape
    out_img = np.zeros((row, col))

    # image conversion
    for r in range(row):
        for l in range(col):
            val = image[r, l, 0]
            if val < 90:
                out_img[r, l] = val * 0.25
            elif 90 <= val < 160:
                out_img[r, l] = val * 1.25
            else:
                out_img[r, l] = val * 0.25

    return out_img

通過拉伸以後，我們還可以發現很多細節，但是如果想進一步拉伸對比度，由於原圖中細節已經缺失很多，所以已經不太可能得到更多的細節了。

灰度級分層（Intensity-level slicing）

說到底這個方法也是分段線性函式的一種變形形式，也就是把我們感興趣的灰度範圍高亮、增強，把不喜歡的隱藏掉或者降低它的強度值。

$$f(X)=\{\begin{array}{cc}{F}_1\left(x_0\right)& 0\le x_0<I_0\\ F_2\left(x_1\right)& I_0\le x_1<I_1\\ \cdots & \cdots \\ F_n\left(x_n\right)& I_n\le x_n\le 255\end{array}$$

假設，比如對於分段函式來說，我們令範圍 $[0,I_0]$ 和 $F_m\in [I_m,I_n]$ 及 $[I_n,255]$ 為0，也就是強調其中的$[I_{m-1},I_m]$這一段，以上的分段函式就可以寫作：

$$f(X)=\{\begin{array}{cc}{F}_1\left(x_0\right)=0& 0\le x_0<I_0\\ \cdots & \\ F_{m-1}\left(x_m\right)=f_m& I_{m-1}\le x_{m-1}<I_m\\ \cdots & \\ F_n\left(x_n\right)=0& I_n\le x_n\le 255\end{array}$$

當然也可以只增強興趣區域的值，所以你能看到兩個不同的分段增強函式的對映曲線，這裡我就不寫程式碼示例了，其實實現方法和上面的那個拉伸方法是相似的。

位元面分層（Bit-plane slicing）

這個簡單的說一下，主要是用於影像壓縮的一種方法。對於一個灰度畫素，它的數字通常是由8個位元組成的，你可以想象是由包含8個位元的數字組成的：

$$[(2^7)n_7,(2^6)n_6,(2^5)n_5,(2^4)n_4,(2^3)n_3,(2^2)n_2,(2^1)n_1,(2^0)n_0]$$

其中的 $n$ 表示的是一個數位開關，它只有開合兩種狀態，因此對於一個在$[0,255]$範圍的數來說，就有8個位元位，如果我們完整的記錄一個位元數，從儲存空間上來說，就需要記錄8個開關的狀態，比如[1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1]。

對一個灰度的還原方法因此就成了這樣

$$P=(2^7)n_7+(2^6)n_6+(2^5)n_5+(2^4)n_4+(2^3)n_3+(2^2)n_2+(2^1)n_1+(2^0)n_0$$

實際上對於一張圖片來說，它有時候保留的有效開關資訊其實很少，比如說一張天空的照片，它的有效畫素資訊可能幾種在 $(n_0,n_1,n_4)$，而在$n_7$有少量資訊，而其他位上則基本沒有資訊。如果為了獲得最大壓縮率，那麼其實我們就可以只保留$(n_0,n_1,n_4)$這三個開關的資訊，為了更好的說明，我這裡用矩陣表示一下這個過程：

$$I=\left[\begin{array}{cccc}{n}_3& n_2& n_1& n_0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

例如以上的矩陣，一共有4個點，$n_3$ 由於沒有資料，所以在對資料進行分層的時候，我們就可以把這一層捨棄，而不損失任何精度和細節。如果我們只保留$n_1$和$n_0$兩層位元層，如果在保留一定的細節情況下，那麼就可以在理論上把資料壓縮一半：

$$I=\left[\begin{array}{cc}{n}_1& n_0\\ 1& 1\\ 0& 1\\ 1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

對於高階語言來說，要把某個數轉化位位元，通常需要與運算(and operation)，具體這裡就不實現了。

取樣函式（Sampling Functions）

從上面的這些例子中，我們發現，能夠對於原影像的灰度圖的修改，很大程度上用到了某種函式，無論是拉伸，還是其他，我們都是通過 $I_o=I_i⨀f_s$ 這樣一種形式進行的擴充套件。這個式子中的$f_s$ 就是取樣函式。

$⨀$ 在這裡，我們不明確指明原始資料與取樣函式的計算方式，它可以是點乘，可以是矩陣乘，也可以是卷積，甚至就像上面介紹的這些分段函式一樣，或者單純的加一些常數。

例如對於原始資料，在圖中表示紅色曲線的部分，其取樣函式$f_s$為正態分佈曲線，數學上寫作：

$$f_s=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\delta }^2}}e(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\delta }^2})$$

那麼對於這樣一個資料，當$⨀$表示為元素乘的時候，取樣函式為正態分佈，每一個畫素點的新輸出的計算方式即：
$$\begin{gathered} {I_1}^{\prime }=I_1\cdot f_s(P_1) \\ {I_2}^{\prime }=I_2\cdot f_s(P_2) \\ \cdots \\ {I_n}^{\prime }=I_n\cdot f_s(P_n) \end{gathered}$$

取樣函式通常可以用於影像去噪，或者增強某一些興趣區間（ROI：region of interest），有時候我們會在一個應用中使用多種取樣函式，而不僅僅是其中一種，以獲得我們想要的資料。當然這部分屬於比較高階的內容了，我會在後面進行介紹。

人比較懶，我就不太想實現對影像的直方圖用這個正態分佈取樣後，會得到什麼的效果。如果你剛剛接觸這一部分內容不妨挑戰一下自己，當作作業。上一篇文章加上這篇文章介紹的，包括我所展示的程式碼，你能花費大概不超過一個小時的時間，體會一下采樣函式的神奇之處。

為了驗證你的取樣函式是否正常，你可以把原影像的直方圖，和取樣後得到的新的直方圖都繪製出來，進行比對。