- 投影變換
- 正投影
- 軸測、等軸測正投影
- 正投影座標系
- 裁剪視窗、正投影觀察體
- 正投影的規範化變換
- 斜投影
- 斜*行投影
- 斜等測、斜二測*行投影
- 斜*行投影變換
- 透視投影
- 投影參考點與觀察原點
- 座標變換
- 特殊透視投影
- 滅點
- 滅點與投影參考點
- 透視投影觀察體
- 透視投影變換矩陣
- 對稱透視投影椎體
- 斜透視投影稜臺
- 透視投影的規範化變換
投影變換
將物件描述從世界座標系變換到觀察座標系後，要將其投影到觀察*面，即投影變換。有2種投影方式：
-
*行投影（parallel projection），座標位置沿*行線變換到觀察*面。保持物件的比例不變，常用於輔助繪圖、設計生成工程圖。獲取物件*行檢視的方法有2種：1）沿垂直於觀察*面的直線投影；2）沿某傾斜角度投影到觀察*面。
-
透視投影（perspective projection），物件位置沿會聚到觀察*面後的一點（即投影參考點/投影中心）的直線，變換到投影座標系。透視投影不會保持物件比例，但真實感更好。
注意：概念上，投影變換指將物件變換到觀察*面；實際應用中，投影變換除了指將物件變換到觀察*面，還包括規範化變換。
線段\(P_1P_2\)的*行投影、透視投影示意圖：
正投影
物件沿與投影*面法向量N*行的方向，到投影*面上的變換N稱為正投影（orthogonal projection）或正交投影（orthographic projection）。
正投影：特殊的*行投影，投影線//投影*面法向量N。常用於生成物件的前檢視、側檢視、頂檢視，可用於建築和工程繪圖。
軸測、等軸測正投影
軸測正投影：
生成顯示物件多個側面的正投影，這些檢視稱為軸測（axonometric）正投影。
等軸測投影：
等軸測（isometric）投影是特殊軸測投影，其投影*面與每個座標軸的交點到原點距離相等。
常見等軸測投影：多個投影*面形成一個立方體，立方體8個頂點分佈在觀察座標系的8分象限。
正投影座標系
觀察座標系\(x_{view}y_{view}z_{view}\)下，如果投影方向//\(z_{view}\)軸，則任意點\((x,y,z)\)的投影座標\((x_p,y_p,z_p)\)：
其中，\(z_{vp}\)為觀察*面位置（觀察*面⊥\(z_{view}\)軸）。\(z_p\)值被儲存，用於可見性檢測。
任一點到觀察*面的正交投影：
裁剪視窗、正投影觀察體
常用矩形裁剪視窗來模擬照相機的鏡頭，用於確定有多少場景要顯示。
OpenGL中，裁剪視窗位於觀察*面上，位置、大小由矩形左下角+右上角確定，其邊與觀察座標系\(x_{view}, y_{view}\)軸*行，即\(x_{view}y_{view}\)*面的正則矩形。裁剪視窗邊界限定了要顯示的場景內容的x、y範圍。
觀察*面上用觀察座標指定裁剪視窗：
∵正投影的投影線⊥觀察*面
∴裁剪視窗的4個邊界的投影線⊥觀察*面
此時，裁剪視窗的4個邊界的投影線形成一個無限的裁剪區域，即沒有頭尾的長方體，如下圖：
選擇1個或2個邊界*面（//觀察*面），為該（無限裁剪）區域\(z_{view}\)方向限定邊界，該區域稱為正交觀察體（orthographic view volume），這2個*面稱為*-遠裁剪*面（near-far clipping plane）或前-後裁剪*面（front-back clipping plane）。正交觀察體外的場景物件會被排除，不會顯示。觀察方向沿\(-z_{view}\)軸，有\(z_{far} < z_{near}\)
由遠、*裁剪*面形成的正交投影觀察體：
正投影的規範化變換
觀察座標系下，任一點\((x,y,z)\)到觀察*面的正交投影位置\((x,y)\)。觀察體內的物件，經規範化變換到規範化立方體，直接對映到規範化觀察體（normalized view volume/canonical view volume）。
規範化觀察體有兩種：
1）單位立方體：限制x、y、z範圍為0~1；
2）對稱立方體：限制x、y、z範圍為-1~1。
因為螢幕座標系常用左手系，所以規範化觀察體也用左手系。觀察方向正距離，代表距離螢幕（觀察*面）的距離。
左手螢幕座標系：
- 規範化變換
設**面、遠*面：\(z=z_{near},z=z_{far}, z_{far}<z_{near}<0\)；規範化變換對映：\((xw_{min},yw_{min},z_{near})\to(-1,-1,-1)\)，\((xw_{max},yw_{max},z_{far})\to(1,1,1)\)。
正交投影的規範化變換示意圖：
正交投影規範化變換有兩種推導方法：
方法一：分解法，將變換分解為三步：
1）*移：將觀察體中心*移到規範化座標系原點；
2）反射：以z軸為反射軸，將觀察體進行反射；
2）縮放：將x、y、z座標放縮到-1~1範圍.
*移矩陣：
∵\(z_{norm}\)軸與\(z_{view}\)軸反向
∴反射矩陣（參見計算機圖形：特殊幾何變換）：
放縮矩陣：
複合變換矩陣：
方法二：座標變換法
以z軸為例：
變換遵循原則：z座標在變換前後，到起點的距離與z軸跨度的比例保持不變。即：
其中，*、遠*面為：\(z=z_{near},z=z_{far},z_{far}<z_{near}<0\)
同理，
根據座標變換，可以構造出正交投影變換矩陣\(M_{ortho,norm}\)（即上面式(7)），以滿足：
注意：有的文獻中，z軸變換會有差異，這是因為*、遠*面設定不同. 例如，令*、遠*面\(z=-z_{near},z=-z_{far},z_{far}>z_{near}>0\)
此時，
斜投影
當*行投影的投影線與觀察*面不*行時，該對映稱為斜投影（oblique parallel projection）。
*行投影={正交投影, 斜投影}
斜*行投影
如下圖，場景中一點\(P(x,y,z)\)在觀察*面（\(z=z_{vp}\)）正投影點\(P_1(x,y,z_{vp})\)，斜投影點\(P_2(x_p,y_p,z_{vp})\)，\(|P_1P_2|=L\)。
斜*行投影用2個角度描述：
1）α，斜*行投影線與\(P_1P_2\)的夾角；
2）φ，\(P_1P_2\)與\(x_{view}\)軸的夾角；
其中，α∈[0,π/2)，φ∈[0,2π)
斜投影座標：
\(\vartriangle PP_1P_2\)中，求L：
當\(z_{vp}-z=1\)時，\(L=\cot α\)
有，
α=π/2時，可得正投影。
- 斜*行投影向量
斜投影線的方向，稱為斜*行向量（parallel-projection vector），用\(V_p\)表示。觀察座標系下，\(V_p=(V_{px},V_{py},V_{pz}), \tan φ={V_{py}\over V_{px}}\)，
∵\(V_p//\overrightarrow{P_1P_2}\)
∴\(V_p,\overrightarrow{P_1P_2}\)在\(x_{view},y_{view},z_{view}\)軸分量比例相同（證明見下文），即
於是，斜*行投影可用正交投影向量表示成：
推論：三維空間下，*行向量\(\vec V_1(x_1,y_1,z_1),\vec V_2(x_2,y_2,z_2)\)的xyz座標分量比例相同，即
\[{x_1\over y_1}={x_2\over y_2},{x_1\over z_1}={x_2\over z_2}, {y_1\over z_1}={y_2\over z_2} \]
證明：
假設\(\vec V_1=(x_1,y_1,z_1)//\vec V_2=(x_2,y_2,z_2)\)，那麼，
存在λ∈R且λ≠0，使得
即得證。
斜等測、斜二測*行投影
φ常用π/3（60°）、π/4（45°），顯示物件前、側、頂檢視的組合（或前、側、底）。
α常用值：
1）α=45°（tan α=1），獲得檢視稱為斜等測（cavalier）投影圖，垂直於投影*面的線條投影后長度不變。
2）α≈63.4°（tan α=2），獲得檢視稱為斜二測（cabinet）投影圖，垂直於投影*面的線條投影后長度為原來一半。真實感較1）更好。
斜*行投影變換
由式(10)，可得斜*行投影變換矩陣：
透視投影
將物件沿會聚到投影參考點（projection reference point）或投影中心（center of projection）的路徑投影到觀察*面來逼*幾何光學效果，稱為透視投影。
*行投影：保持物件相對比例；
透視投影：模仿人眼或照相機，具有*大遠小的真實感。
透視投影示意圖：
投影參考點與觀察原點
-
投影參考點是透視投影才有的概念；觀察原點是基於觀察座標系的概念，所有投影都有。
-
有的圖形軟體包將投影參考點設在觀察原點，即視點；有的將投影參考點作為另一觀察引數來選擇。i.e. 投影參考點可視作觀察原點，也可不同，取決於具體環境，參見下文“特殊透視投影”部分。
座標變換
場景中任一點\(P(x,y,z)\)到投影參考點\(P_{0}(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)的投影示意圖：
投影線與觀察*面交點\(P'(x_p,y_p,z_{vp})\)。
投影線上任一點\((x',y',z')\)引數方程（證明見下面推論）：
u=0時，代表點P(x,y,z)；
u=1時，代表投影參考點\(P_0(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)。
寫成點形式：
推論：兩點\(S_1(x_1,y_1,z_1)、S_2(x_2,y_2,z_2)\)確定直線段L，L上任一點\(S(x,y,z)\)座標方程：
\[\begin{cases} x&=ux_1+(1-u)x_2\\ y&=uy_1+(1-u)y_2 & u\in [0,1]\\ z&=uz_1+(1-u)z_2 \end{cases} \]
證明：
∵S位於直線L
∴\(S_1S//S_2S\)
∴存在非0實數λ，使得\(x-x_1=λ(x-x_2)\)
∴\(x={1\over 1-λ}x_1-{λ\over 1-λ}x_2\)
令\(u={1\over 1-λ}\)，有\(x=ux_1+(1-u)x_2\)
∵x線上段\(S_1S_2\)上，不妨設\(x_1\le x_2\)
∴\(x_1\le x\le x_2\)
∴\(x_1\le ux_1+(1-u)x_2\le x_2\)
∴\(0\le u\le 1\)
同理可證，y、z座標也成立。故得證。
證明也可參見：數學基礎：三角形重心座標插值公式的證明
- 如何求投影變換公式？
要求投影變換公式，就需要求出P在觀察*面\(z'=z_{vp}\)上的投影點\(P'\)。
如上圖，根據三角形相似性，可求出：
於是
特殊透視投影
限制投影參考點或觀察*面。
1）投影參考點限制在\(z_{view}\)軸，即\(x_{prp}=y_{prp}=0\)
2）將投影參考點固定在原點，即\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\)
3）觀察*面是uv*面（uvn座標系），對投影參考點位置不限制，即\(z_{vp}=0\)
tips：uvn座標系下，\(u,v,n\)分別代表\(x_{view},y_{view},z_{view}\)。參見uvn觀察座標系。
4）觀察*面是uv*面，投影參考點在\(z_{view}\)軸，即\(z_{vp}=0,x_{prp}=y_{prp}=0\)
注意：投影參考點不能位於觀察*面\(z_{prp}\neq z_{vp}\)，否則所有物件投影到觀察*面上一點。
滅點
當一個場景使用透視投影到觀察*面上時，*行於觀察*面的線條投影后仍然*行。但任何與觀察*面不*行的*行線組投影后，會成為一組會聚線條。一組投影*行線會聚的點，稱為滅點（vanishing point）。每組*行線都有自己的滅點。
主滅點（principal vanishing point）：物件上*行於一個主軸的一組*行線的滅點。座標軸有3個，所以主滅點最多有3個。
透過投影*面的方向，可以控制主滅點的數量（1，2或3），對應透視投影分為一點、兩點或三點投影。
下圖是一個立方體的一點、兩點透視投影：
滅點與投影參考點
不同點：
- 是否能修改
投影參考點模擬人眼或攝像機，一旦選定，不能隨意修改；滅點會隨著物件的幾何變換而改變位置。
- 針對物件
滅點針對物件的一組*行線，可能有0個或多個；投影參考點針對所有透視投影，只有1個點。i.e. 透視投影一定存在投影參考點，而*行於觀察*面的線組不存在滅點。
透視投影觀察體
在觀察*面上指定一個矩形裁剪視窗，可得到透視投影觀察體（perspective projection view volumes），稱為視覺稜錐體（pyramid of vision）。稜錐體外的所有物件，都會被裁剪子程式消除。
視覺稜錐體：
注: 投影中心也是投影參考點。
新增垂直於\(z_{view}\)的遠、**面，可得到稜臺觀察體（frustum view volumes）。通常，遠、**面位於投影參考點同側（簡化版人眼/相機觀察模型），且遠*面距投影參考點更遠。
稜臺觀察體：
注：有些應用/模型為計算方便，將*裁剪*面設為與觀察*面重合.
透視投影變換矩陣
式(14)給出透視投影變換的一般形式，但不能直接得到變換矩陣，因為x、y係數含z（非常數）。可將其轉化成別的引數形式，然後再用三維齊次座標表示：
其中，任一點\(P(x,y,z)\)，P的投影點\(P'(x_p,y_p,z_p)\)，投影參考點\(P_0(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)，觀察*面\(z=z_{vp}\)。
齊次引數：
\(x_h,y_h\)：
用齊次座標的矩陣變換表示透視變換：
其中，\(P_h=(x_h,y_h,z_h,h)^T,P=(x,y,z,1)^T\)
可得一種可能的透視投影變換矩陣：
其中，引數\(s_z,t_z\)是z座標投影值規範化過程中的比例和*移因子，值依賴於稜臺觀察體範圍和規範化範圍。如果不放縮、*移，則預設值分別為1, 0。
特例：如果將投影參考點限制在觀察原點，且不做規範化和*移即\(s_z=1,t_z=0\)，則\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\). 那麼，\(h=-z\)
對稱透視投影椎體
兩種描述方法：
1. 使用中心線
從投影參考點到裁剪視窗中心並穿過觀察體的線條，是透視投影稜臺的中心線。如下圖，如果中心線⊥投影*面，則觀察體為對稱稜臺（symmetric frustum）（相對於中心線）。
觀察座標系下，觀察*面\(z=z_{vp}\)，投影參考點\(P_{prp}(x_{prp},y_{prp},z_{prp})\)，則中心線與觀察*面交於\((x_{prp},y_{prp},z_{vp})\)。裁剪視窗寬、高分別為width、height，則裁剪視窗邊界：
注意：xw/yw的w指clipping window.
因此，對於對稱透視投影錐體，可用裁剪視窗寬、高代替視窗座標。
2. 使用視場角、裁剪視窗寬高比
視場角（field-of-view angle）：稜臺的上裁剪*面與下裁剪*面的夾角。對稱稜臺*似於照相機鏡頭捕獲的場景視錐，可用於度量鏡頭的尺寸。
視場角與裁剪視窗高度關係：
於是，裁剪視窗高度：
再利用裁剪視窗寬高比aspect，就能得到寬度：\(width=aspect\cdot height\)
對稱稜臺觀察體經透視投影變換後，變成矩形*行管道觀察體，變換後的點的範圍限制在*行管道觀察體內：
斜透視投影稜臺
如果透視投影觀察體的中心線不垂直於觀察*面，則得到一個斜稜臺（oblique frustum）。
斜透視投影 = 錯切 + 透視變換
斜稜臺頂檢視：
斜稜臺投影觀察體，可透過相對於z軸的x方向、y方向錯切（參見三維錯切）變換成對稱稜臺。
為計算方便，將投影參考點設為觀察原點，即\((x_{prp},y_{prp},z_{prp})=(0,0,0)\). 可設錯切矩陣：
如果觀察*面 = *裁剪*面（即\(z_{vp}=z_{near}\)），則透視投影矩陣可進一步簡化。
∵錯切將裁剪視窗\((xw_{min},xw_{max},z_{near})\)中心移到觀察*面原點\((0,0,z_{near})\)處
∴錯切引數\(sh_{zx},sh_{zy}\)滿足：
∴有
- 簡化（對稱）透視投影矩陣
當投影參考點位於觀察原點，且*裁剪*面與觀察*面重合（OpenGL預設）時，則透視投影變換矩陣(22)可簡化為：
其中，z座標縮放和*移引數\(s_z, t_z\)由規範化確定。\(h=z_{prp}-z=-z\)
- 簡化斜透視投影矩陣
將簡化後的透視矩陣(27)和錯切矩陣(24)合併，可得到將場景中座標轉換為齊次正交座標系的斜透視投影矩陣。該變換中，投影參考點是觀察原點，*裁剪*面是觀察*面：
如果裁剪視窗關於觀察原點對稱，即\(xw_{max}=-xw_{min},yw_{max}=-yw_{min}\)，則稜臺觀察體是對稱的，(28)可簡化為(27)（無需錯切，因為投影參考點位於觀察原點）。
透視投影的規範化變換
透視投影最後一步：稜臺觀察體（矩形*行管道，座標符合右手系）\(\xrightarrow{規範化}\)規範化觀察體（對稱立方體，座標符合左手系）。
透視投影規範化 = *行管道觀察體的正交投影
規範化示意圖（*裁剪*面作為觀察*面）：
規範化變換中，矩形*行管道中心線\(z_{view}\)，在x、y方向不再需要*移，只需要相對於原點的x、y縮放。xy規範化縮放矩陣：
將(28)(29)合併，生成透視投影變換的規範化矩陣：
(30)對應的規範化變換：
∴\(P(x,y,z)\)的投影座標\(P'(x_p,y_p,z_p)\)：
其中，\(h=-z\)
如何確定引數\(s_x,s_y,s_z,t_z\)？
座標對映：\((xw_{min},yw_{min},z_{near})\xrightarrow{}(-1,-1,-1), (xw_{max},yw_{max},z_{far})\xrightarrow{}(1,1,1)\).
\(s_x,s_y\)分別將長度\(xw_{max}-xw_{min},yw_{max}-yw_{min}\)放縮為新長度2,2
∴
\(s_z,t_z\)將輸入座標\(z_{near},z_{far}\)分別轉換為\(-1,1\)
∴需滿足
∴有
∴代入(30)可得
這就是透視投影（包括規範化）矩陣.
注意：該投影矩陣對應模型與OpenGL約定一致，包括
1）觀察座標系為右手系統，規範化座標系為左手系統；
2）投影參考點位於觀察原點，觀察*面位於*裁剪*面；
3）遠、*裁剪*面關係：\(z_{far}<z_{near}<0\)（包含符號）.