OpenGL入門第三課--矩陣變換與座標系統

矩陣

       矩陣就是一個矩形的數學表示式陣列，矩陣中每一項叫做矩陣的元素(Element)。下面是一個2×3矩陣的例子：

     矩陣可以通過(i, j)進行索引，i是行，j是列，這就是上面的矩陣叫做2×3矩陣的原因。

矩陣的加減法

     矩陣與標量之間的加減定義如下：

矩陣與標量的減法也相似：

    矩陣與矩陣之間的加減就是兩個矩陣對應元素的加減運算，所以總體的規則和與標量運算是差不多的，只不過在相同索引下的元素才能進行運算。這也就是說加法和減法只對同維度的矩陣才是有定義的。一個3×2矩陣和一個2×3矩陣（或一個3×3矩陣與4×4矩陣）是不能進行加減的。我們看看兩個2×2矩陣是怎樣相加的：

同樣的法則也適用於減法：

矩陣的數乘

     和矩陣與標量的加減一樣，矩陣與標量之間的乘法也是矩陣的每一個元素分別乘以該標量。下面的例子展示了乘法的過程：

矩陣相乘

      矩陣之間的乘法不見得有多複雜，但的確很難讓人適應。矩陣乘法基本上意味著遵照規定好的法則進行相乘。當然，相乘還有一些限制：

• 只有當左側矩陣的列數與右側矩陣的行數相等，兩個矩陣才能相乘；
• 矩陣相乘不遵守交換律(Commutative)，也就是說A⋅B≠B⋅A；

我們先看一個兩個2×2矩陣相乘的例子：

    可以看到，矩陣相乘非常繁瑣而容易出錯，不夠不要緊，在我們OpenGL中是不會讓大家自己去計算這些的，都有相應API來完成，這裡只是希望大家瞭解一下矩陣相乘的原理。

矩陣與向量相乘

    現在我們已經相當瞭解向量了。在OpenGL中可以用向量來表示位置，表示顏色，甚至是紋理座標。與矩陣類比一下，它其實就是一個N×1矩陣，N表示向量分量的個數（也叫N維(N-dimensional)向量）。仔細想一下，其實向量和矩陣一樣都是一個數字序列，但它只有1列。那麼，這個新的定義對我們有什麼幫助呢？如果我們有一個M×N矩陣，我們可以用這個矩陣乘以我們的N×1向量，因為這個矩陣的列數等於向量的行數，所以它們就能相乘。

但是為什麼我們會關心矩陣能否乘以一個向量？好吧，正巧，很多有趣的2D/3D變換都可以放在一個矩陣中，用這個矩陣乘以我們的向量將變換(Transform)這個向量。如果你仍然有些困惑，我們來看一些例子，你很快就能明白了。

單位矩陣

      在OpenGL中，由於某些原因我們通常使用4×4的變換矩陣，而其中最重要的原因就是大部分的向量都是4分量的。我們能想到的最簡單的變換矩陣就是單位矩陣(Identity Matrix)。單位矩陣是一個除了對左角線是1以外其他都是0的N×N矩陣。在下式中可以看到，這種變換矩陣使一個向量完全不變：

     你可能會奇怪一個沒變換的變換矩陣有什麼用？單位矩陣通常是生成其他變換矩陣的起點，如果我們深挖線性代數，這還是一個對證明定理、解線性方程非常有用的矩陣。

縮放

    下面會構造一個變換矩陣來為我們提供縮放功能。我們從單位矩陣瞭解到，每個對角線元素會分別與向量的對應元素相乘。如果我們把1變為3會怎樣？這樣子的話，我們就把向量的每個元素乘以3了，這事實上就把向量縮放3倍。如果我們把縮放變數表示為(S1,S2,S3)我們可以為任意向量(x,y,z)定義一個縮放矩陣：

     注意，第四個縮放向量仍然是1，因為在3D空間中縮放w分量是無意義的。w分量另有其他用途。

位移

    位移(Translation)是在原始向量的基礎上加上另一個向量從而獲得一個在不同位置的新向量的過程，從而在位移向量基礎上移動了原始向量。我們已經討論了向量加法，所以這應該不會太陌生。和縮放矩陣一樣，在4×4矩陣上有幾個特別的位置用來執行特定的操作，對於位移來說它們是第四列最上面的3個值。如果我們把位移向量表示為(Tx,Ty,Tz)，我們就能把位移矩陣定義為：

    有了位移矩陣我們就可以在3個方向(x、y、z)上移動物體，它是我們的變換工具箱中非常有用的一個變換矩陣。

旋轉

    在3D空間中旋轉需要定義一個角和一個旋轉軸(Rotation Axis)。物體會沿著給定的旋轉軸旋轉特定角度。當2D向量在3D空間中旋轉時，我們把旋轉軸設為z軸。

     使用三角學，給定一個角度，可以把一個向量變換為一個經過旋轉的新向量。這通常是使用一系列正弦和餘弦函式（一般簡稱sin和cos）各種巧妙的組合得到的。

       旋轉矩陣在3D空間中每個單位軸都有不同定義，旋轉角度用θ表示：

沿x軸旋轉：

沿y軸旋轉：

沿z軸旋轉：

    利用旋轉矩陣我們可以把任意位置向量沿一個單位旋轉軸進行旋轉。也可以將多個矩陣複合，比如先沿著x軸旋轉再沿著y軸旋轉。

    是不是感覺旋轉看起來好複雜，這些旋轉矩陣都是怎麼計算出來的，其實這些都不需要太過在意，只有理解旋轉也是通過一個特定的矩陣相乘完成的就可以了。

矩陣的組合

    使用矩陣進行變換的真正力量在於，根據矩陣之間的乘法，我們可以把多個變換組合到一個矩陣中。讓我們看看我們是否能生成一個變換矩陣，讓它組合多個變換。假設我們有一個頂點(x, y, z)，我們希望將其縮放2倍，然後位移(1, 2, 3)個單位。我們需要一個位移和縮放矩陣來完成這些變換。結果的變換矩陣看起來像這樣：

    注意，當矩陣相乘時我們先寫位移再寫縮放變換的。矩陣乘法是不遵守交換律的，這意味著它們的順序很重要。當矩陣相乘時，在最右邊的矩陣是第一個與向量相乘的，所以你應該從右向左讀這個乘法。建議您在組合矩陣時，先進行縮放操作，然後是旋轉，最後才是位移，否則它們會（消極地）互相影響。比如，如果你先位移再縮放，位移的向量也會同樣被縮放（譯註：比如向某方向移動2米，2米也許會被縮放成1米）！

用最終的變換矩陣左乘我們的向量會得到以下結果：

不錯！向量先縮放2倍，然後位移了(1, 2, 3)個單位。

OpenGL中的座標系

       OpenGL中頂點著色後，我們的可見頂點都為標準化裝置座標(Normailzed Device Coordinate,NDC)。也就是每個頂點的x,y,z都應該在-1到1直接，否則對我們都是不可見的。

      一個頂點在被轉化為片段之前需要依次經歷一下幾個重要的座標系：

int main(int argc, char* argv[]){   
 gltSetWorkingDirectory(argv[0]);   
 glutInit(&argc, argv);   
 glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGBA | GLUT_DEPTH | GLUT_SINGLE);   
 glutInitWindowSize(800, 600);   
 glutCreateWindow("矩陣變換Demo");   
 glutReshapeFunc(ChangeSize);   
 glutDisplayFunc(RenderScene);   
 GLenum error = glewInit();    
 if(GLEW_OK != error) {        
   fprintf(stderr,"GLEW Error: %s\n",glewGetErrorString(error));      
   return 1;  
  }   
 setupRC();   
 glutMainLoop();   
 return 0;
}複製程式碼

這裡有三個方法比較重要 第一個 setupRC,主要完成一些繪圖前的準備工作：

void setupRC () {
    glClearColor(0.8, 0.8, 0.8, 1.0f); //設定清屏顏色  
    shaderManager.InitializeStockShaders();//初始化固定管線
    glEnable(GL_DEPTH_TEST);//開啟深度測試   
    gltMakeSphere(torusBatch, 0.4, 10, 20);//形成一個球    
    glPolygonMode(GL_FRONT_AND_BACK, GL_LINE);//設定多邊形填充模式
}複製程式碼