一、基礎理論
齊次方程組形如：
。在一些最佳化，擬合等問題中經常出現，我們常考慮方程多於未知數元數的情況------超定方程組。
首先對於平凡解x=0我們一般不感興趣，一般我們會尋求方程組的非零解。
如果x是方程組的一個解，那麼對於
,也是齊次方程組的解，一個合理的假設是隻求滿足
的解。
假設A的維數是m×n，一般的m>n(超定)，那麼方程組存在精確解的條件是rank(A)<n，即矩陣A列不滿秩。當沒有精確解的時候（rank(A) = n, A列滿秩），我們通常求其最小二乘解，描述為：
求使||Ax||最小化並滿足||x||=1的x。
先介紹一個引理，即對於一個酉陣或半酉陣p(
)和一個向量x(向量維數等於P列數)，有：
將A進行精簡奇異值分解，令：
其中U和V為半酉陣，分別滿足
則：
另，若令:
則問題等效成求使||Dy||最小化並滿足||y||=1的y
需要說明的是對於當前問題，A列滿秩，則D是對角陣，V是酉陣(方陣)
在奇異值分解中D的對角線元素是遞減排列的，那麼只需去取=(0,0,......0,1)，則;
，是A最小的奇異值
此時：
即x為V矩陣的最後一列，在此背景下x為A‘A的最小特徵值對應的單位特徵向量。
二、示例
示例：利用空間點擬合空間平面
有平面上的n個點的座標，擬合平面ax+by+cy+d=0
注：這裡不用ax+by+cy+1=0的形式擬合，形成一個Ax=b的非齊次方程組，然後透過廣義逆的方式求解，主要考慮到平面可能過原點等問題。
有m個方程：
用矩陣的方式表示成Ax=0的形式為;
透過上述方式可進行求解。
matlab程式碼如下：
function n = get_plane(X) %% % X為平面上的點座標，大小為n×3矩陣 % n為平面的四維向量表示 %% [m,~] = size(X); a1 = ones(m,1); A = [X,a1]; [~,~,V] = svd(A,'econ'); n = V(:,4);
原文連結：齊次方程組（超定方程組）的最小二乘解，及利用其擬合空間平面