**高次方程組的算術根：X+Y+Z與XYZ**
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今次文章的表達：可以在不清楚X,Y,Z單獨解的前提之下，假設已經知道X,Y,Z的2次方之和、3次方之和、4次方之和、5次方之和、6次方之和、7次方之和，那麼，可以直接將這6個答案代入兩組公式，分別得出；
(1) 這三數之和：X+Y+Z。
(2) 這三數的乘積：XYZ。
※※※
特別指出：如此的不含根號只用加減乘除(+-×÷)構成的算術根，去解析高次方程組，歷史上可能不存在案例，原因是使用韋達定理根與係數的關係式，不能夠完成，只有使用新關係式(第二關係式)，才可以完成。
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**《一》X+Y+Z三數之和**
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已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a。
(X^3+Y^3+Z^3)=b。
(X^4+Y^4+Z^4)=c。
(X^5+Y^5+Z^5)=d。
(X^6+Y^6+Z^6)=e。
(X^7+Y^7+Z^7)=f。
※※※
特別指出：X≠Y≠Z。
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『X+Y+Z求解公式』
※※※
X+Y+Z
=
(fb^2-acf+ade-bce+dc^2-bd^2)
÷
(c^3+eb^2-ace+ad^2-2bcd)
◆◆◆
例一，已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a= 14。
(X^3+Y^3+Z^3)=b= 36。
(X^4+Y^4+Z^4)=c= 98。
(X^5+Y^5+Z^5)=d= 276。
(X^6+Y^6+Z^6)=e= 794。
(X^7+Y^7+Z^7)=f= 2316。
※※※
代入得；
※※※
X+Y+Z
=
(2316×36^2-14×98×2316+14×276×794-36×98×794+276×98^2-36×276^2)
÷
(98^3+794×36^2-14×98×794+14×276^2-2×36×98×276)
=6。
※※※
(X=1, Y=2, Z=3)
◆◆◆
例二，已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a= 14。
(X^3+Y^3+Z^3)=b= 18。
(X^4+Y^4+Z^4)=c= 98。
(X^5+Y^5+Z^5)=d= 210。 
(X^6+Y^6+Z^6)=e= 794。
(X^7+Y^7+Z^7)=f= 2058。
※※※
代入得；
※※※
X+Y+Z
=
(2058×18^2-14×98×2058+14×210×794-18×98×794+210×98^2-18×210^2)
÷
(98^3+794×18^2-14×98×794+14×210^2-2×18×98×210)
=0。
※※※
(X= -1, Y= -2, Z=3)
◆◆◆
例三，已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a= 14。
(X^3+Y^3+Z^3)=b= -18。
(X^4+Y^4+Z^4)=c= 98。
(X^5+Y^5+Z^5)=d= -210。 
(X^6+Y^6+Z^6)=e= 794。
(X^7+Y^7+Z^7)=f= -2058。
※※※
代入得；
※※※
X+Y+Z
=
((-2058)×(-18)^2-14×98×(-2058)+14×(-210)×794-(-18)×98×794+(-210)×98^2-(-18)×(-210)^2)
÷
(98^3+794×(-18)^2-14×98×794+14×(-210)^2-2×(-18)×98×(-210))
=0。
※※※
(X=1, Y=2, Z= -3)
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**《二》X,Y,Z三數的乘積**
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已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a。
(X^3+Y^3+Z^3)=b。
(X^4+Y^4+Z^4)=c。
(X^5+Y^5+Z^5)=d。
(X^6+Y^6+Z^6)=e。
(X^7+Y^7+Z^7)=f。
※※※
特別指出：X≠Y≠Z。
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『XYZ求解公式』
※※※
XYZ
=
(bdf-fc^2-be^2+2cde-d^3)
÷
(ace-ad^2-eb^2+2bcd-c^3)
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例一，已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a= 14。
(X^3+Y^3+Z^3)=b= -34。
(X^4+Y^4+Z^4)=c= 98。
(X^5+Y^5+Z^5)=d= -274。
(X^6+Y^6+Z^6)=e= 794。
(X^7+Y^7+Z^7)=f= -2314。
※※※
代入得；
※※※
XYZ
=
((-34)×(-274)×(-2314)-(-2314)×98^2-(-34)×794^2+2×98×(-274)×794-(-274)^3)
÷
(14×98×794-14×(-274)^2-794×(-34)^2+2×(-34)×98×(-274)-98^3)
=6。
※※※
(X=1, Y= -2, Z= -3)
◆◆◆
例二，已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a= 14。
(X^3+Y^3+Z^3)=b= 18。
(X^4+Y^4+Z^4)=c= 98。
(X^5+Y^5+Z^5)=d= 210。 
(X^6+Y^6+Z^6)=e= 794。
(X^7+Y^7+Z^7)=f= 2058。
※※※
代入得；
※※※
(18×210×2058-2058×98^2-18×794^2+2×98×210×794-210^3)
÷
(14×98×794-14×210^2-794×18^2+2×18×98×210-98^3)
=6。
※※※
(X= -1, Y= -2, Z=3)
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例三，已知；
(X^2+Y^2+Z^2)=a= 14。
(X^3+Y^3+Z^3)=b= -20。
(X^4+Y^4+Z^4)=c= 98。
(X^5+Y^5+Z^5)=d= -212。 
(X^6+Y^6+Z^6)=e= 794。
(X^7+Y^7+Z^7)=f= -2060。
※※※
代入得；
※※※
((-20)×(-212)×(-2060)-(-2060)×98^2-(-20)×794^2+2×98×(-212)×794-(-212)^3)
÷
(14×98×794-14×(-212)^2-794×(-20)^2+2×(-20)×98×(-212)-98^3)
=6。
※※※
(X= -1, Y=2, Z= -3)
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**《三》X+Y+Z+V與XYZV**
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已知；
(X^2+Y^2+Z^2+T^2)=a。
(X^3+Y^3+Z^3+T^3)=b。
(X^4+Y^4+Z^4+T^4)=c。
(X^5+Y^5+Z^5+T^5)=d。
(X^6+Y^6+Z^6+T^6)=e。
(X^7+Y^7+Z^7+T^7)=f。
(X^8+Y^8+Z^8+T^8)=g。
(X^9+Y^9+Z^9+T^9)=h。
※※※
(1)求：X+Y+Z+V=?
(2)求：XYZV=?
◆◆◆◆◆◆
完

高次方程組的算術根：X+Y+Z與XYZ

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