『**恆等1,16,81的方程組**』
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設；
X^2+Y^2+Z^2=a
X^3+Y^3+Z^3=b
X^4+Y^4+Z^4=c
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得；
一式：**6c-8b+6a-3a^2=1**。
二式：**6c-16b+24a-3a^2=16**。
三式：**6c-24b+54a-3a^2=81**。
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下面是一式、二式、三式的詳細解答。
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**《一》『恆等1的方程組』**
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一式：6c-8b+6a-3a^2=1。
※※※
成立的條件：X+Y+Z=1。
※※※
展開；
6(X^4+Y^4+Z^4)
-
8(X^3+Y^3+Z^3)
+
6(X^2+Y^2+Z^2)
-
3(X^2+Y^2+Z^2)^2
=1。
◆◆◆
例一：X=(-2), Y=(-3), Z=6。
※※※
6((-2)^4+(-3)^4+6^4)-8((-2)^3+(-3)^3+6^3)+6((-2)^2+(-3)^2+6^2)-3((-2)^2+(-3)^2+6^2)^2
=1。
◆◆◆
例二：X=(-2), Y=(-5), Z=8。
※※※
6((-2)^4+(-5)^4+8^4)-8((-2)^3+(-5)^3+8^3)+6((-2)^2+(-5)^2+8^2)-3((-2)^2+(-5)^2+8^2)^2
=1。
◆◆◆
例三：X=(-12), Y=(-15), Z=28。
※※※
6((-12)^4+(-15)^4+28^4)-8((-12)^3+(-15)^3+28^3)+6((-12)^2+(-15)^2+28^2)-3((-12)^2+(-15)^2+28^2)^2
=1。
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**《二》『恆等16的方程組』**
◆◆◆
二式：6c-16b+24a-3a^2=16。
※※※
成立的條件：X+Y+Z=2。
※※※
展開；
6(X^4+Y^4+X^4)
−
16(X^3+Y^3+Z^3)
+
24(X^2+Y^2+Z^2)
−
3(X^2+Y^2+Z^2)^2
=
16。
◆◆◆
例一：X=(-1), Y=(-3), Z=6。
※※※
6((-1)^4+(-3)^4+6^4)−16((-1)^3+(-3)^3+6^3)+24((-1)^2+(-3)^2+6^2)−3((-1)^2+(-3)^2+6^2)^2
=
16。
◆◆◆
例二：X=(-2), Y=(-5), Z=9。
※※※
6((-2)^4+(-5)^4+9^4)−16((-2)^3+(-5)^3+9^3)+24((-2)^2+(-5)^2+9^2)−3((-2)^2+(-5)^2+9^2)^2
=
16。
◆◆◆
例三：X=(-12), Y=(-15), Z=29。
※※※
6((-12)^4+(-15)^4+29^4)−16((-12)^3+(-15)^3+29^3)+24((-12)^2+(-15)^2+29^2)−3((-12)^2+(-15)^2+29^2)^2
=
16。
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**《三》『恆等81的方程組』**
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三式：6c-24b+54a-3a^2=81。
※※※
成立的條件：X+Y+Z=3。
※※※
展開；
6(X^4+Y^4+Z^4)
−
24(X^3+Y^3+Z^3)
+
54(X^2+Y^2+Z^2)
−
3(X^2+Y^2+Z^2)^2
=
81。
◆◆◆
例一：X=(-1), Y=(-3), Z=7。
※※※
6((-1)^4+(-3)^4+7^4)−24((-1)^3+(-3)^3+7^3)+54((-1)^2+(-3)^2+7^2)−3((-1)^2+(-3)^2+7^2)^2
=
81。
◆◆◆
例二：X=(-2), Y=(-5), Z=10。
※※※
6((-2)^4+(-5)^4+10^4)−24((-2)^3+(-5)^3+10^3)+54((-2)^2+(-5)^2+10^2)−3((-2)^2+(-5)^2+10^2)^2
=
81。
◆◆◆
例三：X=(-12), Y=(-15), Z=30。
※※※
6((-12)^4+(-15)^4+30^4)−24((-12)^3+(-15)^3+30^3)+54((-12)^2+(-15)^2+30^2)−3((-12)^2+(-15)^2+30^2)^2
=
81。
◆◆◆◆◆◆
完

『恆等1,16,81的方程組』

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