擴充套件歐幾里得演算法（Exgcd）
裴蜀定理
對於任意一組整數 \(a,b\)，存在一組整數 \(x,y\)，滿足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。
Proof：
考慮數學歸納法。
當 \(b=0\) 時，由於 \(\gcd(a,0)=a\)，則對於 \(ax+0y=a\) 這個不定方程，\(x=1\)，\(y\) 取任意整數。
假設存在一組整數 \(x,y\)，滿足 $bx+(a\bmod b)y=\gcd(b,a\bmod b)=\gcd(a,b) $。
那麼接下來證明也存在一組整數 \(x',y'\) 滿足 \(ax'+by'=\gcd(a,b)\)。
當 \(x'=y,y'=x-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor y\) 時滿足條件。
那麼利用輾轉相除法進行遞迴，總能遞迴到 \(b=0\) 的情況。命題得證。
Exgcd
求關於 \(x,y\) 的方程 \(ax+by=c\) 的整數解。
設 \(d=\gcd(a,b)\)，方程有整數解的充要條件是 \(d\mid c\)。
Proof：
設 \(a=k_1d,b=k_2d\)，則有 \(k_1dx+k_2dy=c \Rightarrow k_1x+k_2y=\dfrac{c}{d}\)。
先證必要性： 由於 \(\dfrac{c}{d}\) 必須為整數，則 \(d \mid c\)。
再證充分性：上式中，\(k_1\perp k_2\)，則方程 \(k_1x'+k_2y'=1\) 一定有整數解。由於 \(\dfrac{c}{d} \in\mathbb{Z}\)，那麼原方程也一定有整數解。
先將方程化簡，兩邊同除以 \(d\)。此時 \(a,b\) 互質。
為了方便表述，下面提到的方程都是化簡後的方程。
那麼我們可以先利用裴蜀定理求出 \(ax'+by'=1\) 的一組特解 \(x',y'\)，從而求出原方程的一組特解 \(x_0=cx’,y_0=cy'\)。
考慮如何求出通解。
讓 \(x\) 加上一個數，那麼 \(y\) 就要減去一個數。設這兩個數為 \(\Delta_x,\Delta_y\)，則有：
由於 \(a,b\) 互質，則 \(\dfrac{a}{b}\) 為最簡整數比，則有 \(a \mid \Delta_y\) 且 \(\ b\mid \Delta_x\)。
由於 \(\Delta_x,\Delta_y \in \mathbb{Z}\)，則 \(\Delta_x\) 最小取到 \(b\)，\(\Delta_y\) 最小取到 \(a\)。
通解即為：
代回原方程，可以消掉 \(kb,ka\)。
接下來考慮，當存在正整數解時，如何求出最小正整數解與正整數解的個數。
對 \(x\) 的通解進行變形，求 \(x\) 的最小正整數解 \(x_1\)：
先減一是為了避免 $x_0 \bmod a $ 一開始就為 \(0\) 的情況，從而保證 \(x_1>0\)。
易得，當 \(x\) 增大時，\(y\) 減小。當 \(x\) 取 \(x_1\) 時，\(y\) 取到最大正整數解 \(y_2\)。
同理，求出 \(y\) 的最小正整數解 \(y_1\)，當 \(y\) 取 \(y_1\) 時，\(x\) 取到最大正整數解 \(x_2\)。
由通解公式可得，\(x\) 每兩個整數解之間相差 \(b\)，\(y\) 每兩個整數解之間相差 \(a\)。
正整數解的個數即為 \(\dfrac{x_2-x_1}{b}+1\) 或 \(\dfrac{y_2-y_1}{a}+1\)。
Ex.1 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
根據上面的分析，套用公式即可。
ll T,A,B,C,x,y,d,x1,x2,y1,y2,cnt;
ll GetX(ll Y){return (C-B*Y)/A;}
ll GetY(ll X){return (C-A*X)/B;}
ll Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0) return x=1,y=0,a;
ll res=Exgcd(b,a%b,x,y);
ll z=x;
x=y;
y=z-(a/b)*y;
return res;
}
void Solve(){
read(A),read(B),read(C);
d=Exgcd(A,B,x,y);
if(C%d) return puts("-1"),void();
A/=d,B/=d,C/=d;
x*=C,y*=C;
x1=((x-1)%B+B)%B+1;
y2=GetY(x1);
y1=((y-1)%A+A)%A+1;
x2=GetX(y1);
cnt=(x2-x1)/B+1;
if(y2<=0) printf("%lld %lld\n",x1,y1);
else printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n",cnt,x1,y1,x2,y2);
}
Ex.2 [NOIP2012 提高組] 同餘方程
對式子進行變形：
利用 Exgcd 求解即可。
這是非常常用的變形技巧，也是當 \(a,b\) 互質但 \(b\) 不是質數時求逆元的方法。
Ex.3 青蛙的約會
設跳躍 \(k\) 次後兩青蛙相遇，則可列出方程：
其中 \(S,L,C\) 為常數。
把 \(k,p\) 看作未知數，利用 Exgcd 求 \(k\) 的最小正整數解即可。