證明輾轉相除法
即證明 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)
我們規定 \(a\ge b\)
設 \(d\) 是 \(a,b\) 的公約數 \(a=x_1d,b=x_2d\)
\(a\bmod b=(x_1\bmod x_2)d\)
所以 \(\forall d|a且d|b, d|(a\bmod b)\)
同理可證，對於\(\forall d|b且d|(a\bmod b),d|a\)
所以 \(\{x|x是a,b的公約數\}=\{x|x是b,a\bmod b的公約數\}\)
因此他們的最大公約數相同
by lyk