二分圖最大權完美匹配

Ancker-0發表於2024-09-13

問題

給定一個二分圖，左部有 \(n\) 個點，右部有 \(m\) 個點，邊 \((u_i, v_j)\) 的邊權為 \(A_{i,j}\)。求該二分圖的最大權完美匹配。

轉化

問題可以寫成線性規劃的形式，設 \(f_{i, j}\) 表示匹配中是否有邊 \((u_i, v_j)\)，求

\[\begin{gather*} \text{maximize} \quad & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f_{i, j} \times A_{i, j} \\ \text{subject to} \quad & \sum_{i=1}^n f_{i, j} = 1 \quad \forall j \in [1, m] \\ & \sum_{j=1}^m f_{i,j}=1\quad\forall i \in [1, n] \\ & f_{i,j} \ge 0 \quad\forall i, j \end{gather*} \]

轉為對偶問題：

\[\begin{gather*} \text{minimize} \quad & \sum_{i=1}^n hu_i + \sum_{j=1}^m hv_i \\ \text{subject to} \quad & hu_i + hv_i \ge A_{i,j} \quad\forall i, j \end{gather*} \]

在這個問題中，\(hu\) 和 \(hv\) 又稱作“頂標”。

分析

根據互補鬆弛定理，如果 \(f_{i,j}=1\)，則有 \(hu_i+hv_j=A_{i,j}\)。這給出了判定一組頂標是否最優的方式：

一組頂標 \(hu, hv\) 最優，當且僅當子圖 \(H = \left\{(i, j) \mid hu_i + hv_j = A_{i,j}\right\}\) 存在完美匹配。

做法

首先給出一個滿足 \(hu_i+hv_j \ge A_{i,j}\) 的頂標（不一定最優）（例如，令 \(hu_i = hv_j = +\infty\)），並維護對應的匹配。然後嘗試在不破壞條件的情況下修改頂標，使得匹配可以被增廣。

具體而言，遍歷 \(i\) 從 \(1\) 到 \(n\)，每次嘗試將 \(i\) 加入到匹配中（類似於求二分圖最大匹配的匈牙利演算法）。我們可以求出以 \(i\) 為根的交錯樹，如果已經存在增廣路，那麼直接增廣便是，否則我們需要修改頂標來使交錯樹生長。設交錯樹中的左部點集為 \(S\)，右部點集為 \(T\)，那麼必有 \(|S| = |T| + 1\)（交錯樹的性質）。令 \(\Delta = \min\{hu_i + hv_j - A_{i,j} \mid i \in S \land j \notin T\}\)，那麼將 \(S\) 中的點頂標減去 \(\Delta\)，將 \(T\) 中的點頂標加上 \(\Delta\)，可以驗證得到的新的頂標依然滿足 \(hu_i+hv_j \ge A_{i,j}\) 的限制，且原圖中的匹配一定包含於對應的新圖 \(H'\) 中，此外，新圖中至少增加了一條邊，這使得我們的交錯樹可以繼續生長，直到找到增廣路為止。

程式碼（洛谷 P6577）

#define DEBUG 0
#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <vector>
template <class T> using Arr = std::vector<T>;
#define int long long
const int INF = 1e8;

signed main() {
	int n, m;
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	struct edge_t {
		int v, w;
	};
	Arr<Arr<edge_t>> e(2 * n);
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		int l, r, w;
		scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &w);
		--l; r += n - 1;
		e[l].push_back({r, w});
		e[r].push_back({l, w});
	}

	Arr<int> match(2 * n, -1), h(2 * n, INF);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		Arr<int> vis(2 * n, false);    // 是否在當前求出的交錯樹中，即 $S \cup T$ 
		Arr<int> upd(2 * n, n * INF);  // 最小的 Δ 值                             
		Arr<int> from(2 * n, -1);      // 維護增廣路所用，即交錯樹上的父親        
		int p = i;
		vis[p] = true;
		int d, dp;  // Δ 及其對應的 j
		while (true) {
			d = n * INF, dp = -1;

			// 求出 Δ
			for (auto [to, w] : e[p])
				if (!vis[to]) {
					int delta = h[p] + h[to] - w;
					if (delta < upd[to])
						upd[to] = delta, from[to] = p;
				}
			for (int j = n; j < 2 * n; ++j)
				if (!vis[j] && upd[j] < d && from[j] != -1)
					d = upd[j], dp = j;
			assert(~dp);


			// 修改頂標
			h[i] -= d;
			for (int j = n; j < 2 * n; ++j)
				if (vis[j])
					h[j] += d, h[match[j]] -= d;
				else
					upd[j] -= d;

			// 找到增廣路
			if (match[dp] == -1)
				break;

			// 生長交錯樹
			vis[dp] = true;
			vis[match[dp]] = true;
			p = match[dp];
		}

		// 增廣
		while (~dp) {
			match[dp] = from[dp];
			int tmp = match[from[dp]];
			match[from[dp]] = dp;
			dp = tmp;
		}
	}

	long long ans = 0;
	for (int i = 0; i < 2 * n; ++i)
		ans += h[i];
	printf("%lld\n", ans);
	for (int i = n; i < 2 * n; ++i)
		printf("%lld ", match[i] + 1);
	puts("");
	return 0;
}

參考資料

  • https://cp-algorithms.com/graph/hungarian-algorithm.html
  • https://codeforces.com/blog/entry/128703

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