洛谷P2774方格取數問題

思路：

我們選取一格的時候，限制的是不能選取周圍的四格。也就是說，我們可以考慮假設全選，然後刪去不能選的格數的權值和的最小值，就可以得到能夠選擇所得到的最大值。
我們可以將點染成黑白兩種顏色，對於點$(i,j)$,如果$(i+j)\%2=1$就為黑色，否則為白色。這樣選擇一個點的時候，就會對四周不同顏色的點造成影響。這種二選一就容易想到是二分圖，是二分圖帶權最大獨立集。二分圖最大獨立集=所有的點權-最小點覆蓋數，又最小點覆蓋=最大匹配。所以我們可以網路流求其最大流（最小割）。
建圖：
對於黑色點$b_{i,j}$建立$(S,b_{i,j},a_{i,j})$的邊；對於白點$w_{i,j}$建立$(w_{i,j},T,a_{i,j})$的邊；對於黑點$b_{i,j}$與四周的白點$w_{i^{{}^{\prime }},j^{{}^{\prime }}}$建立$(b_{i,j},w_{i^{{}^{\prime }},j^{{}^{\prime }}},inf)$的邊。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define int long long
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define lson x<<1,l,mid
#define rson x<<1|1,mid+1,r
#define INF 1e18
const int N=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1);
using namespace std;
struct edge
{
	int u,v,w;
}e[N];
int head[N]={0},len=1,dis[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
void add(int u,int v,int w)
{
	e[++len]={head[u],v,w};
	head[u]=len;
}
void inc(int u,int v,int w)
{
	add(u,v,w);
	add(v,u,0);
}
int dep[N];
int dfs(int u,int f,int t)
{
	int ans=0,i;
	if(u==t)
		return f;
	for(i=head[u];i && f;i=e[i].u)
	{
		int v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(dep[v]==dep[u]+1 && w)//符合深度關係且能流 
		{
			int sum=dfs(v,min(f,w),t);
			e[i].w-=sum;
			e[i^1].w+=sum;
			f-=sum;
			ans+=sum;
		}	
	}
	if(!ans)
		dep[u]=-2;
	return ans;
}
int bfs(int s,int t)
{
	queue<int> q;
	cl(dep,0);
	dep[s]=1;//源點深度為1
	q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front(),i;
		q.pop();
		for(i=head[u];i;i=e[i].u)
		{
			int v=e[i].v,w=e[i].w;
			if(w && !dep[v])//有深度且能流 
			{
				dep[v]=dep[u]+1;
				q.push(v); 
			}
		}
	}
	return dep[t];
}
int dinic(int s,int t)
{
	int ans=0;
	while(bfs(s,t))
		ans+=dfs(s,inf,t);
	return ans;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,m,i,j,k;
	cin>>m>>n;
	int s=0,t=m*n+1,res=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			int x;
			cin>>x;
			res+=x;
			if((i+j)%2)
				inc(s,(i-1)*n+j,x);
			else
				inc((i-1)*n+j,t,x);
		} 
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
			if((i+j)%2)
			{
				for(k=0;k<4;k++)
				{
					int dx=i+dis[k][0],dy=j+dis[k][1];
					if(dx>=1 && dx<=m && dy>=1 && dy<=n)
						inc((i-1)*n+j,(dx-1)*n+dy,inf);
				}
			}
	res-=dinic(s,t);
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}