二分圖最小點覆蓋與二分圖最大匹配的關係
一、定義回顧
- 二分圖最小點覆蓋：
- 給定一個二分圖 \(G = (V, E)\)，點覆蓋是一個頂點集合 \(S \subseteq V\)，使得對於每一條邊 \(e \in E\)，至少有一個端點在 \(S\) 中。二分圖最小點覆蓋就是所有點覆蓋中頂點個數最少的那個點覆蓋。
- 二分圖最大匹配：
- 在二分圖 \(G = (V, E)\) 中，匹配是邊的一個子集 \(M \subseteq E\)，其中任意兩條邊沒有公共頂點。二分圖最大匹配是所有匹配中邊的數量最多的匹配。
二、證明二分圖最小點覆蓋等於二分圖最大匹配（König 定理）
構造性證明思路：
- 設二分圖 \(G = (V, E)\) 的兩個頂點子集為 \(X\) 和 \(Y\)，最大匹配數為 \(m\)。
- 從一個最大匹配 \(M\) 開始，對於匹配邊 \((x, y) \in M(x \in X, y \in Y)\)，如果一個未匹配點 \(u\) 能透過交替路徑（由匹配邊和非匹配邊交替組成的路徑）到達另一個未匹配點 \(v\)，就會產生增廣路徑，這與是最大匹配矛盾。
具體步驟：
- 首先，對於最大匹配 \(M\) 中的每一條邊 \((x, y)\) ，要麼 \(x\) 在最小點覆蓋中，要麼 \(y\) 在最小點覆蓋中。
- 假設存在一條邊 \(e = (x, y)\) ，使得和都不在我們選定的點覆蓋中。因為 \(x\) 和 \(y\) 都不在點覆蓋中，所以存在一個匹配邊 \(e' = (x', y')\)，其中 \(x'\) 和 \(x\) 在同一側，\(y'\) 和 \(y\) 在同一側，且 \(x'\) 和 \(y'\) 都在點覆蓋中。但是這樣就會出現矛盾，因為這條邊沒有被覆蓋。
- 然後，我們可以證明這樣選定的點覆蓋的大小等於最大匹配的大小。由於每一條匹配邊都對應一個點在點覆蓋中，而且不會有多餘的點（否則會與最小性矛盾），所以
二分圖最小點覆蓋等於二分圖最大匹配。