性質一：最小圓覆蓋是唯一的
證：若存在兩個最小圓，如下
顯然所有點只能存在於兩個圓的交集中，於是以中間那條實心藍線為直徑做一個圓，這個圓顯然更小而且能夠覆蓋所有點
性質二：若我們已經用最小覆蓋圓覆蓋了所有點，設這些點的點集為\(S\)，現在我們新加入一個點\(p\)，若\(p\)不在\(S\)的最小覆蓋圓的內部，則\(p\)一定在{\(p\)}∪\(S\)的邊上
證明：假設\(p\)在最小覆蓋圓的外部，如下圖：
由於\(C_2\)覆蓋了\(S\)，所以\(r_{C_2}≥r_{C_1}\)，由性質一，有\(r_{C_2}＞r_{C_1}\)，於是可以將\(C_2\)不斷縮小，使其同時包含\(S\)和\(p\)，這與\(C_2\)是最小圓覆蓋矛盾
求最小覆蓋圓思路：首先將點隨機化保證複雜度。然後迴圈，假設迴圈到\(i\)，我們已經求出了\(1\) ~ \(i-1\)的最小覆蓋圓，如果\(i\)在這個最小覆蓋圓內部，則圓不變，否則的話由性質二可以知道\(i\)一定在新的最小覆蓋圓的邊上。開一個內層迴圈，假設迴圈到\(j\)，我們已經求出了\(1\) ~ \(j-1\)且\(i\)在圓邊上的最小覆蓋圓（我們要求的是\(1\) ~ \(j\)且\(i\)在圓邊上的最小覆蓋圓），如果\(j\)在這個最小覆蓋圓內部，則圓不變（此時即使多了條件\(i\)在圓邊上，我們仍然可以類似證明性質一），否則的話\(j\)一定在新的最小覆蓋圓的邊上（此時即使多了條件\(i\)在圓邊上，我們仍然可以類似證明性質二）。再開一個內層迴圈，假設迴圈到\(k\)，我們已經求出了\(1\) ~ \(k-1\)且\(i,j\)在圓邊上的最小覆蓋圓（我們要求的是\(1\) ~ \(k\)且\(i,j\)在圓邊上的最小覆蓋圓），如果\(k\)在這個最小覆蓋圓內部，則圓不變（此時即使多了條件\(i,j\)在圓邊上，我們仍然可以類似證明性質一），否則的話\(k\)一定在新的最小覆蓋圓的邊上（此時即使多了條件\(i,j\)在圓邊上，我們仍然可以類似證明性質二），而此時我們已經確定了三個點在圓邊上，於是可以唯一確定圓，從而求出了\(1\) ~ \(j\)且\(i\)在圓邊上的最小覆蓋圓，進而可以求出\(1\) ~ \(i\)的最小覆蓋圓
時空複雜度都是\(O(n)\)（具體證明見影片39:30）
如果要求最小覆蓋球，則是“四點確定一個球”，其餘類似