關於二分圖上的最大匹配、最小點覆蓋、最大獨立集以及最大權閉合子圖的聯絡

1. 沒有點權和邊權的時候，不討論最大權閉合子圖，最大匹配=最小點覆蓋=點數-最大獨立集

   最小點覆蓋=點數-最大獨立集：這個很好理解，考慮只有一條邊的情況，點覆蓋要求兩個端點至少選一個，獨立集要求兩個端點最多選一個，是互補的關係，這意味著一個合法點覆蓋的點集與一個合法獨立集的點集一一對應，所以最小點覆蓋的方案取反就得到最大獨立集的方案。這個性質在一般圖上仍然成立，不依賴於二分圖的結構。

   最大匹配=最小點覆蓋：這裡利用網路流的概念簡單理解。二分圖內原來的邊按左指向右定向且容量為無窮，從源點向左部的所有點連邊，從右部的所有點向匯點連邊，新連邊容量為 1，此時一個流對應一個匹配，一個割對應一個點覆蓋，而又有最大流=最小割，自然有最大匹配=最小點覆蓋。

2. 只有邊權的時候，除了最大匹配以外都沒有意義。此時的最大權匹配就從最大流的模型變成了最大費用流的模型。

3. 只有點權的時候，不考慮最大匹配，最大權閉合子圖在這裡特指左邊都是正點權，右邊都是負點權，邊從左連向右的時候的二分圖的最大閉合子圖的點權和，有最小權點覆蓋=總點權-最大權獨立集=右部點權和+最大權閉合子圖

   首先最小權點覆蓋和1.中描述的分析方法相同，由於一個割對應一個點覆蓋，只要將容量改為點權，那麼割的容量就是點覆蓋的值了。與2.中描述的最大權匹配會被加強為費用流不同，最小權點覆蓋仍僅需要求解最小割。

   然後我們整體地解釋這個等式。

   現在有一個二分圖，點有點權，點權全部是正的。現在約定一條邊表示它所連線的兩個端點不能同時選，求能選出的最大點權和，這是最大權獨立集的模型。

   同樣的二分圖，同樣的要求，但我事先將所有點的點權拿走表示全選，然後把所有點權置負表示選擇這個負權意味著退回之前拿的點權，此時一條邊的含義轉化為至少選一個點退回，這是最小權點覆蓋的模型。

   如果上一次事先拿點權時只拿了右邊的點權表示暫且選擇右邊的所有點，然後把右邊的點權置負表示選擇這個負權意味著退回之前拿的右部點，現在一條邊的含義就變為了如果選擇了左邊的正點權，就必須選擇右邊的負點權表示退回這個點，這是最大權閉合子圖的模型。

   第一種情況實際求解的時候是直接取反然後用最小割求解最小點覆蓋，而第三種情況的一般圖示準做法也是先拿走所有正權點求最小割，總的來說三種情況本質相同，都是在做最小割，最終建的圖都是一樣的。