前言

為毛我之前做網路流24題一篇題解都沒有寫

正片

例題

[六省聯考2017]壽司餐廳

連結

當時就想著用DP搞，結果死活搞不出那個m=1的做法

最大權閉合子圖介紹

給你新的一道題目，有$n$個點，每個點有個$a$值，選了就會加上其$a$值，那麼很明顯加上全部正的$a$即可。

但是現在要求給你一些關係：選了$x$必須選$y$。

我們現在的$ans$先加上所有的正數。

那麼，考慮最小割，如果在最小割中割了$x$和$S$的邊，表示不選$x$，而割了$x$和$T$的邊，然後需要注意的是，邊權不是價值，而是代價，也就是需要從$ans$中減去的東西。（當然，倒過來應該也沒有問題。）

對於一個點$i$，如果$a_i>0$，則向$S$連邊權為$a_i$的邊，向$T$連邊權為$0$的邊，如果$a_i\le 0$，則向$S$連邊權為$0$的邊，向$T$連邊權為$-a_i$的邊。

好，那麼如果選了$x$必須選$y$，就把$x$向$y$連一條邊，邊權為$\infty$，為什麼？

因為如果$x$選了，割了與$T$的邊，$y$不選，割了與$S$的邊，那麼就一定存在一條路徑：$S->x->y->T$。

所以$x$選了，$y$必須被選。

這就是最大權閉合子圖。

做法

仔細一看，對於$d_{i,j}$而言，選了其必須選擇$d_{i+1,j},d_{i,j-1}$，而對於$d_{i,i}$而言，選了其必須刪去$i$的代號，而對於$i$，如果其被選擇，那麼也要刪去其代號的平方乘$m$。

然後跑Dinic即可。

程式碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define  N  110
#define  NN  12000
#define  M  110000
using  namespace  std;
inline  int  mymin(int  x,int  y){return  x<y?x:y;}
struct  node
{
	int  y,next,c;
}a[M];int  len=1,last[NN];
inline  void  ins_node(int  x,int  y,int  c){len++;a[len].y=y;a[len].c=c;a[len].next=last[x];last[x]=len;}
inline  void  ins(int  x,int  y,int  c){ins_node(x,y,c);ins_node(y,x,0);}
int  list[NN],head,tail,h[NN],st,ed;
bool  bfs()
{
	memset(h,0,sizeof(h));h[ed]=1;
	head=1;tail=1;list[1]=ed;
	while(head<=tail)
	{
		int  x=list[head++];
		for(int  k=last[x];k;k=a[k].next)
		{
			int  y=a[k].y;
			if(a[k^1].c  &&  !h[y])
			{
				h[y]=h[x]+1;
				list[++tail]=y;
			}
		}
	}
	return  h[st];
}
int  dinic(int  x,int  f)
{
	if(x==ed)return  f;
	int  s=0,t;
	for(int  k=last[x];k;k=a[k].next)
	{
		int  y=a[k].y;
		if(a[k].c  &&  h[x]==h[y]+1)
		{
			s+=t=dinic(y,mymin(f-s,a[k].c));
			a[k].c-=t;a[k^1].c+=t;
			if(s==f)return  s;
		}
	}
	h[x]=0;
	return  s;
}
bool  v[1100];
int  ans=0;
inline  void  jian(int  x,int  v)
{
	if(v>0)
	{
		ans+=v;
		ins(st,x,v);
	}
	else  if(v<0)ins(x,ed,-v);
}
int  n,m,d[N][N];
int  main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	st=n*n+n+1000+1;ed=st+1;
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		int  x;scanf("%d",&x);
		if(!v[x]  &&  m)jian(n*n+x,-m*x*x),v[x]=1;
		jian(n*n+1000+i,-x);
		ins(n*n+1000+i,n*n+x,999999999);
	}
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int  j=i;j<=n;j++)
		{
			scanf("%d",&d[i][j]);
			jian((i-1)*n+j,d[i][j]);
		}
	}
	for(int  i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int  j=i;j<=n;j++)
		{
			if(i==j)ins((i-1)*n+j,n*n+1000+i,999999999);
			else  ins((i-1)*n+j,i*n+j,999999999),ins((i-1)*n+j,(i-1)*n+j-1,999999999);
		}
	}
	while(bfs())
	{
		ans-=dinic(st,999999999);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return  0;
}
/*
1-n^2表示d(i,j)
n^2+1-n^2+1000表示第i個代號。
n^2+1001-n^2+1000+n表示第i個數字，減去其代號 
*/