額外空間複雜度O(1) 的二叉樹遍歷 → Morris Traversal，你造嗎？

青石路發表於2022-01-17

複雜度二叉樹

開心一刻

　　一天，有個粉絲遇到感情方面的問題，找我出出主意

　　粉絲：我女朋友吧，就是先天有點病，聽不到人說話，也說不了話，現在我家裡人又給我介紹了一個，我該怎麼辦

　　我：這個問題很難去解釋，我覺得一個人活著，他要對身邊的人負責，對家人負責，對自己負責

　　從語音中我能感受得到粉絲很難受，我繼續補充

　　我：我不是說讓你放棄掉你的女朋友，你們一定是有一定的感情基礎才在一起的，但你還是需要衡量衡量你的未來

　　我能明顯感覺到粉絲已經在抽泣，繼續說道

　　我：當然，這個時候離開肯定是不合適的，對吧？

　　粉絲：是的

　　我：這種感情的問題，我很難說讓你怎麼樣，這個只有你自己去衡量，找到一個最合適的解決辦法

　　粉絲哭泣到：我真的不知道怎麼辦

　　我最不忍心看別人哭，安慰道：你先別哭，問題總有辦法解決的，哭不是解決問題的辦法，你先平復下

　　過了一會，粉絲說道：我知道了，我還是遵從家裡的意見吧，給我現在的女朋友氣放了

　　我：女朋友氣... 我放你個大烏龜

前情回顧

　　二叉樹的遍歷 → 不用遞迴，還能遍歷嗎中講到了二叉樹的深度遍歷的實現方式：遞迴、棧+迭代

　　不管採用何種方式，額外空間複雜度都是 O(N)

　　那有沒有額外空間複雜度 O(1) 的遍歷方式了？

　　很早之前就被人給專研出來了，也就是本文的主角：Morris Traversal

Morris Traversal

　　因為它由 Joseph Morris 發明的，所以叫 Morris Traversal

　　遞迴、棧+迭代的遍歷，本質都是使用了棧結構進行輔助，所以在處理完某個節點後能回到上層去

　　二叉樹的結構決定了它從上層到下層（根到葉子）很容易，但從下層到上層卻很難，因為只有父節點指向子節點的指標，而沒有子節點指向父節點的指標

　　Morris 遍歷的實質就是避免使用棧結構，而是讓下層到上層有指標，通過底層節點指向 null 的空閒指標指向上層的某個節點，從而實現下層到上層的移動

　　空閒指標從哪來？二叉樹的葉子節點，或者只有單個孩子的節點（左指標空閒或右指標空閒）

　　具體實現，我們往下看

　　移動規則

　　也就是遍歷過程；設當前節點為 cur ，初始 cur = root ，則 cur 的移動規則如下

　　1、如果 cur 沒有左子樹，則讓 cur 向右移動，即 cur = cur.right

　　2、如果 cur 有左子樹，則找到 cur 左子樹最右的節點，記作 mostRight

　　　　2.1、如果 mostRight 的右指標指向 null ，讓其指向 cur ，然後 cur 向左移動

　　　　2.2、如果 mostRight 的右指標指向 cur ，讓其指向 null ，然後 cur 向右移動

　　3、當 cur 為 null 時，遍歷停止

　　這描述還是有點抽象，我們結合具體的二叉樹，利用移動規則把二叉樹遍歷一遍

　　初始二叉樹如下

　　1）初始 cur 在節點 a，此時 cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 k，k 的右指標指向 null ，讓其指向 cur ，然後 cur 左移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 b

　　2）此時 cur 在節點 b， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 d，d 的右指標指向 null ，讓其指向 cur ，然後 cur 左移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 d

　　3）此時 cur 在節點 d，cur 沒有左子樹， cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第二次來到節點 b

　　4）此時 cur 在節點 b， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 d，d 的右指標指向 cur ，讓其指向 null ，然後 cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 e

　　　　這裡大家可能會有疑問：找 cur 的左子樹的最右節點時，找到的不應該是節點 c 嗎？

　　　　所以這裡有細節要處理，找左子樹最右節點的時候，遇到兩種情況（右指標指向 null 或右指標指向 cur ）都需要停止尋找，用程式碼描述就是：

　　5）此時 cur 在節點 e， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 h，h 的右指標指向 null ，讓其指向 cur ，然後 cur 左移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 h

　　6）此時 cur 在節點 h， cur 沒有左子樹， cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第二次來到節點 e

　　7）此時 cur 在節點 e， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 h，h 的右指標指向 cur ，讓其指向 null ，然後 cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 k

　　8）此時 cur 在節點 k， cur 沒有左子樹， cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第二次來到節點 a（為什麼是第二次？因為最初從 a 開始的）

　　9）此時 cur 在節點 a， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 k，k 的右指標指向 cur ，讓其指向 null ，然後 cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 c

　　10）此時 cur 在節點 c， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 g，g 的右指標指向 null ，讓其指向 cur ，然後 cur 左移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 f

　　11）此時 cur 在節點 f， cur 沒有左子樹， cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第一次來到節點 g

　　12）此時 cur 在節點 g， cur 沒有左子樹， cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur 第二次來到節點 c

　　13）此時 cur 在節點 c， cur 有左子樹，找到其左子樹的最右節點，即節點 g，g 的右指標指向 cur ，讓其指向 null ， cur 右移

　　　　此時二叉樹結構如下， cur = null

　　14）此時 cur 為 null ，遍歷停止

　　　　可以看到，二叉樹回到了最初的狀態，最終結構與最初一致

　　前面步驟有點長，看的可能不夠直觀，我們來看個完整版的

　　上述的遍歷就是 Morris Traversal ， cur 所經歷的節點 a -> b -> d -> b -> e -> h -> e -> k -> a -> c -> f -> g -> c 組成了 Morris 序

　　在遍歷的過程中，相信大家已經得出一個規律：有左子樹的節點（b、e、a、c）會到達兩次，沒有左子樹的節點（d、h、k、f、g）則只會到達一次

　　這絕對不是巧合啊！這是 Morris Traversal 移動規所產生的必然結果

　　對於那些能達到兩次的節點，我們如何區分是第一次到達，還是第二次到達？

　　在上述的遍歷過程中，相信大家已經找到答案了

　　　　1、如果其左子樹的最右節點指向 null ，即 mostRight.right = null ，則該節點是第一次到達

　　　　2、如果其左子樹的最右節點指向自身，即 mostRight.right = cur ，則該節點是第二次到達

　　經過了上述諸多的準備， Morris Traversal 程式碼實現就非常簡單了

　　程式碼實現

　　相信大家都能看懂這個程式碼，沒看懂的再去把前面的遍歷過程再看看

　　 Morris Traversal 一定要看懂，不然後面的深度遍歷就玩不動了

先序遍歷

　　我們對比下先序序列和 Morris 序列

　　發現了什麼？ Morris Traversal 第二次到達的節點不列印，就是先序序列了

　　程式碼也就手到擒來了

中序遍歷

　　我們對比下中序序列和 Morris 序列

　　只會遍歷一次的節點，直接列印；會遍歷兩次的節點，第一次的時候不列印，第二次列印，就得到了中序序列

　　程式碼很容易擼出來了

後序遍歷

　　對比後序序列和 Morris 序列

　　一眼看不出有什麼關係

　　通過 Morris Traversal 得到後續序列確實不容易想到，我們直接看前輩們的經驗

　　被遍歷到兩次的節點的先後順序：b、e、a、c

　　1、b 節點的左子樹的右邊界：d，逆序列印它還是 d

　　2、e 節點的左子樹的右邊界：h，逆序列印它還是 h

　　3、a 節點的左子樹的右邊界：b -> e -> k，逆序列印就是：k -> e -> b

　　4、c 節點的左子樹的右邊界：f -> g，逆序列印就是：g -> f

　　5、整棵樹的右邊界：a -> c，逆序列印就是：c -> a

　　把逆序列串起來：d -> h -> k -> e -> b -> g -> f -> c -> a，這就是後序序列

　　問題又來了，如何逆序列印右邊界，並且額外空間複雜度 O(1) ；其實就是單向連結串列的逆序輸出，不知道的可以檢視：單向連結串列的花式玩法 → 還在玩反轉？

　　我們來看程式碼

總結