說說你對演算法中時間複雜度，空間複雜度的理解？如何計算？

林恒發表於2024-04-09
演算法時間複雜度

一、前言

演算法（Algorithm）是指用來運算元據、解決程式問題的一組方法。對於同一個問題，使用不同的演算法，也許最終得到的結果是一樣的，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區別

衡量不同演算法之間的優劣主要是透過時間和空間兩個維度去考量：

  • 時間維度：是指執行當前演算法所消耗的時間，我們通常用「時間複雜度」來描述。
  • 空間維度：是指執行當前演算法需要佔用多少記憶體空間，我們通常用「空間複雜度」來描述

通常會遇到一種情況，時間和空間維度不能夠兼顧，需要在兩者之間取得一個平衡點是我們需要考慮的

一個演算法通常存在最好、平均、最壞三種情況，我們一般關注的是最壞情況

最壞情況是演算法執行時間的上界，對於某些演算法來說，最壞情況出現的比較頻繁，也意味著平均情況和最壞情況一樣差

二、時間複雜度

時間複雜度是指執行這個演算法所需要的計算工作量，其複雜度反映了程式執行時間「隨輸入規模增長而增長的量級」，在很大程度上能很好地反映出演算法的優劣與否

一個演算法花費的時間與演算法中語句的「執行次數成正比」，執行次數越多，花費的時間就越多

演算法的複雜度通常用大O符號表述，定義為T(n) = O(f(n))，常見的時間複雜度有：O(1)常數型、O(log n)對數型、O(n)線性型、O(nlogn)線性對數型、O(n^2)平方型、O(n^3)立方型、O(n^k)k次方型、O(2^n)指數型，如下圖所示：

從上述可以看到，隨著問題規模n的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，演算法的執行效率越低，由小到大排序如下：

Ο(1)＜Ο(log n)＜Ο(n)＜Ο(nlog n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2^n)＜Ο(n!)

注意的是，演算法複雜度只是描述演算法的增長趨勢，並不能說一個演算法一定比另外一個演算法高效，如果常數項過大的時候也會導致演算法的執行時間變長

關於如何計算時間複雜度，可以看看如下簡單例子：

function process(n) {
  let a = 1
  let b = 2
  let sum = a + b
  for(let i = 0; i < n; i++) {
    sum += i
  }
  return sum
}

該函式演算法需要執行的運算次數用輸入大小n的函式表示，即 T(n) = 2 + n + 1，那麼時間複雜度為O(n + 3)，又因為時間複雜度只關注最高數量級，且與之係數也沒有關係，因此上述的時間複雜度為O(n)

又比如下面的例子：

function process(n) {
 let count = 0
  for(let i = 0; i < n; i++){
    for(let i = 0; i < n; i++){
      count += 1
    }
  }
}

迴圈裡面巢狀迴圈，外面的迴圈執行一次，裡面的迴圈執行n次，因此時間複雜度為 O(n*n*1 + 2) = O(n^2)

對於順序執行的語句，總的時間複雜度等於其中最大的時間複雜度，如下：

function process(n) {
  let sum = 0
  for(let i = 0; i < n; i++) {
    sum += i
  }
  for(let i = 0; i < n; i++){
    for(let i = 0; i < n; i++){
      sum += 1
    }
  }
  return sum
}

上述第一部分複雜度為O(n)，第二部分複雜度為O(n^2)，總複雜度為max(O(n^2), O(n)) = O(n^2)

又如下一個例子：

function process(n) {
  let i = 1; // ①
  while (i <= n) {
     i = i * 2; // ②
  }
}

迴圈語句中以2的倍數來逼近n，每次都乘以2。如果用公式表示就是1 * 2 * 2 * 2 … * 2 <=n，也就是說2的x次方小於等於n時會執行迴圈體，記作2^x <= n，於是得出x<=logn

因此迴圈在執行logn次之後，便結束，因此時間複雜度為O(logn)

同理，如果一個O(n)迴圈裡面巢狀O(logn)的迴圈，則時間複雜度為O(nlogn)，像O(n^3)無非也就是巢狀了三層O(n)迴圈

三、空間複雜度

空間複雜度主要指執行演算法所需記憶體的大小，用於對程式執行過程中所需要的臨時儲存空間的度量

除了需要儲存空間、指令、常數、變數和輸入資料外，還包括對資料進行操作的工作單元和儲存計算所需資訊的輔助空間

下面給出空間複雜度為O(1)的示例，如下

let a = 1
let b = 2
let c = 3

上述程式碼的臨時空間不會隨著n的變化而變化，因此空間複雜度為O(1)

let arr []
for(i=1; i<=n; ++i){
  arr.push(i)
}

上述可以看到，隨著n的增加，陣列的佔用的記憶體空間越大

通常來說，只要演算法不涉及到動態分配的空間，以及遞迴、棧所需的空間，空間複雜度通常為O(1)，一個一維陣列a[n]，空間複雜度O(n)，二維陣列為O(n^2)

參考文獻

  • https://juejin.cn/post/6844904167824162823#heading-7

  • https://zhuanlan.zhihu.com/p/50479555

  • https://cloud.tencent.com/developer/article/1769988

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