寫在前面：

 

這篇文章是在公眾號： 程式設計師小灰 中釋出的。是我到目前為止所看到的關於時間複雜度介紹的最好的文章，簡介 清晰 明瞭。

所以拿來po出來 僅供學習交流，如侵則刪。

 

現已將此文收錄至： 《資料結構》| 第一章 緒論 知識梳理

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正文： 

 

 

 

時間複雜度的意義

 

究竟什麼是時間複雜度呢？讓我們來想象一個場景：某一天，小灰和大黃同時加入了一個公司......

一天過後，小灰和大黃各自交付了程式碼，兩端程式碼實現的功能都差不多。大黃的程式碼執行一次要花100毫秒，記憶體佔用5MB。小灰的程式碼執行一次要花100秒，記憶體佔用500MB。於是......

由此可見，衡量程式碼的好壞，包括兩個非常重要的指標：

1.執行時間；

2.佔用空間。

 

基本操作執行次數

 

關於程式碼的基本操作執行次數，我們用四個生活中的場景，來做一下比喻：

場景1：給小灰一條長10寸的麵包，小灰每3天吃掉1寸，那麼吃掉整個麵包需要幾天？

答案自然是 3 X 10 = 30天。

如果麵包的長度是 N 寸呢？

此時吃掉整個麵包，需要 3 X n = 3n 天。

如果用一個函式來表達這個相對時間，可以記作 T（n） = 3n。

場景2：給小灰一條長16寸的麵包，小灰每5天吃掉麵包剩餘長度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那麼小灰把麵包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

這個問題翻譯一下，就是數字16不斷地除以2，除幾次以後的結果等於1？這裡要涉及到數學當中的對數，以2位底，16的對數，可以簡寫為log16。

因此，把麵包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。

如果麵包的長度是 N 寸呢？

需要 5 X logn = 5logn天，記作 T（n） = 5logn。

場景3：給小灰一條長10寸的麵包和一個雞腿，小灰每2天吃掉一個雞腿。那麼小灰吃掉整個雞腿需要多少天呢？

答案自然是2天。因為只說是吃掉雞腿，和10寸的麵包沒有關係 。

如果麵包的長度是 N 寸呢？

無論麵包有多長，吃掉雞腿的時間仍然是2天，記作 T（n） = 2。

場景4：給小灰一條長10寸的麵包，小灰吃掉第一個一寸需要1天時間，吃掉第二個一寸需要2天時間，吃掉第三個一寸需要3天時間.....每多吃一寸，所花的時間也多一天。那麼小灰吃掉整個麵包需要多少天呢？

答案是從1累加到10的總和，也就是55天。

如果麵包的長度是 N 寸呢？

此時吃掉整個麵包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。

記作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。

上面所講的是吃東西所花費的相對時間，這一思想同樣適用於對程式基本操作執行次數的統計。剛才的四個場景，分別對應了程式中最常見的四種執行方式：

場景1：T（n） = 3n，執行次數是線性的。

1. void eat1(int n){

2.     for(int i=0; i<n; i++){;

3.         System.out.println("等待一天");

4.         System.out.println("等待一天");

5.         System.out.println("吃一寸麵包");

6.     }

7. }

8. vo

場景2：T（n） = 5logn，執行次數是對數的。

1. void eat2(int n){

2.    for(int i=1; i<n; i*=2){

3.        System.out.println("等待一天");

4.        System.out.println("等待一天");

5.        System.out.println("等待一天");

6.        System.out.println("等待一天");

7.        System.out.println("吃一半面包");

8.    }

9. }

場景3：T（n） = 2，執行次數是常量的。

1. void eat3(int n){

2.    System.out.println("等待一天");

3.    System.out.println("吃一個雞腿");

4. }

場景4：T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，執行次數是一個多項式。

1. void eat4(int n){

2.    for(int i=0; i<n; i++){

3.        for(int j=0; j<i; j++){

4.            System.out.println("等待一天");

5.        }

6.        System.out.println("吃一寸麵包");

7.    }

8. }

 

漸進時間複雜度

 

有了基本操作執行次數的函式 T（n），是否就可以分析和比較一段程式碼的執行時間了呢？還是有一定的困難。

比如演算法A的相對時間是T（n）= 100n，演算法B的相對時間是T（n）= 5n^2，這兩個到底誰的執行時間更長一些？這就要看n的取值了。

所以，這時候有了漸進時間複雜度（asymptotic time complectiy）的概念，官方的定義如下：

若存在函式 f（n），使得當n趨近於無窮大時，T（n）/ f（n）的極限值為不等於零的常數，則稱 f（n）是T（n）的同數量級函式。

記作 T（n）= O（f（n）），稱O（f（n）） 為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。

漸進時間複雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。

如何推匯出時間複雜度呢？有如下幾個原則：

1. 如果執行時間是常數量級，用常數1表示；

2. 只保留時間函式中的最高階項；

3. 如果最高階項存在，則省去最高階項前面的係數。

讓我們回頭看看剛才的四個場景。

場景1：

T（n） = 3n 

最高階項為3n，省去係數3，轉化的時間複雜度為：

T（n） =  O（n）

場景2：

T（n） = 5logn 

最高階項為5logn，省去係數5，轉化的時間複雜度為：

T（n） =  O（logn）

場景3：

T（n） = 2

只有常數量級，轉化的時間複雜度為：

T（n） =  O（1）

場景4：

T（n） = 0.5n^2 + 0.5n

最高階項為0.5n^2，省去係數0.5，轉化的時間複雜度為：

T（n） =  O（n^2）

這四種時間複雜度究竟誰用時更長，誰節省時間呢？稍微思考一下就可以得出結論：

O（1）< O（logn）< O（n）< O（n^2）

在程式設計的世界中有著各種各樣的演算法，除了上述的四個場景，還有許多不同形式的時間複雜度，比如：

O（nlogn）, O（n^3）, O（m*n），O（2^n），O（n！）

今後遨遊在程式碼的海洋裡，我們會陸續遇到上述時間複雜度的演算法。

 

時間複雜度的巨大差異

 

 

我們來舉過一個栗子：

演算法A的相對時間規模是T（n）= 100n，時間複雜度是O(n)

演算法B的相對時間規模是T（n）= 5n^2，時間複雜度是O(n^2)

演算法A執行在小灰家裡的老舊電腦上，演算法B執行在某臺超級計算機上，執行速度是老舊電腦的100倍。

那麼，隨著輸入規模 n 的增長，兩種演算法誰執行更快呢？

從表格中可以看出，當n的值很小的時候，演算法A的執行用時要遠大於演算法B；當n的值達到1000左右，演算法A和演算法B的執行時間已經接近；當n的值越來越大，達到十萬、百萬時，演算法A的優勢開始顯現，演算法B則越來越慢，差距越來越明顯。

這就是不同時間複雜度帶來的差距。