時間複雜度
定義
衡量一個演算法的快慢，一定要考慮資料規模的大小。所謂資料規模，一般指輸入的數字個數、輸入中給出的圖的點數與邊數等等。一般來說，資料規模越大，演算法的用時就越長。而在演算法競賽中，我們衡量一個演算法的效率時，最重要的不是看它在某個資料規模下的用時，而是看它的用時隨資料規模而增長的趨勢，即 時間複雜度。
——OI Wiki
在演算法中，使用時間複雜度來衡量程式執行時間的多少。每條語句執行的次數稱為該語句的頻度，整段程式碼的總執行次數則稱為整段程式碼的頻度。在演算法競賽中，由於輸入可以在給定的資料範圍內任意給定，我們為保證演算法能夠透過某個資料範圍內的任何資料，一般考慮最壞時間複雜度。
下面，我將用更通俗易懂的語言，解釋時間複雜度。
分析
在推導的時候，我們應該採用無限大的思想來簡化大 \(O\) 表示式，具體如下：
1.用常數 \(1\) 代替執行時間中的所有加法的常數。無論常數是多少都使用 \(1\) 替換。因為執行函式和問題規模 \(n\) 的大小無關，它是執行時間恆定的，像時間複雜度為\(O(1)\) 的又被稱作常數階。如：執行 \(100\) 次 \(1 \to n\) 的迴圈，這份程式碼的時間複雜度為 \(O(n)\) 而並非 \(O(100n)\)。
2.如果最高階項存在且係數不為 \(1\)，則去除掉與這個項相乘的係數，例如 \(O(2n^2)\) 係數為 \(2\)，直接簡化為 \(O(n^2)\)。
3.如果表示式有多項含有無限大變數的式子，只保留一個擁有指數最高的變數的式子。如 \(O(2n^2+2n)\) 應簡化為 \(O(n^2)\)。
經過上面三個步驟推到出來的結果就是演算法對應的大 \(O\) 階。
注意，在遇到類似於 \(O(2n+m)\) 的時間複雜度時，由於 \(n\) 和 \(m\) 之間沒有聯絡，所以這份程式碼的時間複雜度應是 \(O(n+m)\)。在遇到類似於 \(O(n^2+nq)\) 的時間複雜度時，由於我們無法確定 \(n^2\) 和 \(nq\) 的大小（\(n\) 和 \(q\) 的大小不確定），因此這份程式碼的時間複雜度依然是 \(O(n^2+nq)\)。
舉例：
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\(O(12)\to O(1)\)
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\(O(2n+3)\to O(n)\)
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\(O(3n^2+2n+1)\to O(n^2)\)
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\(O(5\log_2 n+20)\to O(\log n)\)
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\(O(2n+3n\log_2 n+19)\to O(n\log n)\)
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\(O(6n^3+2n^2+3n+4)\to O(n^3)\)
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\(O(2^n+n^4)\to O(2^n)\)
Another
哪些數是常數？
我們曾提到，“用常數 \(1\) 代替執行時間中的所有加法的常數”，那麼，什麼是常數呢？
我們一個例子看起。
const int n=114514;
for (int i=1;i<=n;i++){
cout<<"hello world\n";
}
程式碼中，\(MAXN\) 雖然是一個變數，但是它的值是固定的，所以它不被看做輸入資料規模，所以程式碼的時間複雜度是 \(O(1)\) 而不是 \(O(n)\)。
進行時間複雜度計算時，哪些變數被視作輸入規模是很重要的，而所有和輸入規模無關的量都被視作常量，計算複雜度時可當作 \(1\) 來處理。