1. 時間複雜度和空間複雜度 (7 天掌握演算法面試必考知識點)

學習計劃

由於每天都需要寫學習心得和作業，所以寫此貼作為筆記。也希望可以幫助到有需要的同學。

1、時間複雜度

（1）時間複雜度的統計維度

• O(1): Constant Complexity 常數複雜度
• O(log n): Logarithmic Complexity 對數複雜度
• O(n): Linear Complexity 線性時間複雜度
• O(n^2): N Square Complexity 平方
• O(n^3): N CubicComplexity 立方
• O(2^n): Exponential Growth 指數
• O(n!): Factorial 階乘

（2）各時間複雜度的耗時曲線

從圖中可以看出，當n小於5時，不同的時間複雜度耗時差不多。
當n增大時，不同時間複雜度演算法耗時差距非常大。所以也就不難理解，大型公司對演算法的要求越來越高，是因為當遇到大資料量處理時，不同的演算法能力，需要的伺服器成本和程式碼效能是有天壤之別的。

（3）演算法面試題的四個套件

• 演算法題的內容確認無誤；
• 思考所有可能解決的辦法；
• 比較這些方法的時間和空間複雜度；
• 找出最優的解決方案（時間複雜度最低，兼顧內容使用更少的）

（4）遞迴的時間複雜度分析

• 將遞迴的執行順序畫出樹形結構，稱為遞迴狀態的遞迴樹；
• 主定理計算時間複雜度

比如：斐波那契數列
Fib: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）

def fib(n: int):
    if n < 2: return n
    return fib(n-1) + fib(n-2)

繪製遞迴圖，以n=6為例：

常用演算法應用主定理：（記住如下演算法對應公式，並嘗試理解）

2、空間複雜度

空間複雜度和時間複雜度的情況類似，但是更加簡單。

陣列的長度

如果程式碼中開了陣列，則陣列的長度基本就是空間複雜度。
比如:

• 一維陣列，陣列長度等於元素個數，則空間複雜度就是O(n)
• 二維陣列，陣列長度為n^{2，則空間複雜度為O(n2)}

遞迴深度

如果程式碼中有遞迴，那麼遞迴最大深度，就是空間複雜度的最大值。如果遞迴裡面又開了陣列，那麼兩者中的最大值就是空間複雜度。

實戰分析

詳見leetcode的爬樓梯示例：爬樓梯題解

3、小結

• 常用工具配置
• 基本功和程式設計指法
• 常見的時間、空間複雜度分析 對於開發來說，掌握熟悉的工具和TOP用法，能節省開發中的工具使用效率。 對於頂級工程師來說，對自己程式碼的時間複雜度和空間複雜度瞭解，是必備技能。

總結

時間複雜度：假設入參為n，程式執行的次數與n的關係，即為時間複雜度。
時間複雜度優化順序：O(1) > O(log n) > O(n) > O(n²⁾ > O(n³⁾ > O(2ⁿ⁾ > O(n!)

空間複雜度：程式碼中陣列的大小或遞迴深度的最大值。
空間複雜度優化順序：O(1) > O(log n) > O(n) > O(n²⁾ > O(n³⁾ > O(2ⁿ⁾ > O(n!)

為什麼複雜度對於程式碼來說如此重要？
從網際網路公司成本來看：

• 硬體成本：時間複雜度低的程式碼，可以降低CPU壓力，減少伺服器的CPU成本；空間複雜度低的程式碼，可以降低記憶體佔用，減少伺服器的記憶體成本；
• 產品成本：時間複雜度和空間複雜度越低，程式執行時間越低和遇到的效能故障越少，產品的效能就會越好，越容易獲取使用者喜歡。
• 質量評估成本：對設計的演算法效能有兩種評測方法，一是執行耗時評估，成本高、不穩定、強依賴硬體，而就是時間複雜度和空間複雜度評估，成本低、準確性高。

參考資料：

• 如何理解演算法時間複雜度的表示法
• 主定理