時間複雜度的計算

jiuyang發表於2018-11-06
時間複雜度

1.演算法的效率

　　兩個維度

　　　　時間複雜度 ：評估執行程式所需的時間。可以估算出程式對處理器的使用程度。

　　　　空間複雜度 ： 評估執行程式所需的儲存空間。可以估算出程式對計算機記憶體的使用程度。

2.時間複雜度

　　時間頻度 一個演算法的執行時間與語句執行次數成正比，一個演算法中語句執行的次數稱為語句頻度或者是時間頻度。記為 T(n)

　　時間複雜度 　

　　　　前面提到的時間頻度T(n)中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道

　　它變化時呈現什麼規律，為此我們引入時間複雜度的概念。一般情況下，演算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n

　　的某個函式，用T(n)表示，若有某個輔助函式f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱

　　f(n)是T(n)的同數量級函式，記作T(n)=O(f(n))，它稱為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。　　

　

3.大O表示法

　　像前面用O( )來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大O表示法。

　　推導大O階 
　　推導大O階，我們可以按照如下的規則來進行推導，得到的結果就是大O表示法： 
　　1.用常數1來取代執行時間中所有加法常數。 
　　2.修改後的執行次數函式中，只保留最高階項 
　　3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

　　常數階
先舉了例子，如下所示。

  int sum = 0,n = 100; //執行一次  
  sum = (1+n)*n/2; //執行一次  
  System.out.println (sum); //執行一次


上面演算法的執行的次數的函式為f(n)=3，根據推導大O階的規則1，我們需要將常數3改為1，則這個演算法的時間複雜度為O(1)。如果sum = （1+n）*n/2這條語句再執行10遍，因為這與問題大小n的值並沒有關係，所以這個演算法的時間複雜度仍舊是O(1)，我們可以稱之為常數階。

線性階
線性階主要要分析迴圈結構的執行情況，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//時間複雜度為O(1)的演算法
...
}


上面演算法迴圈體中的程式碼執行了n次，因此時間複雜度為O(n)。

對數階
接著看如下程式碼：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//時間複雜度為O(1)的演算法
...
}

可以看出上面的程式碼，隨著number每次乘以2後，都會越來越接近n，當number不小於n時就會退出迴圈。假設迴圈的次數為X，則由2^x=n得出x=log₂n，因此得出這個演算法的時間複雜度為O(logn)。

平方階
下面的程式碼是迴圈巢狀：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=0;j<n;i++){
         //複雜度為O(1)的演算法
         ...
      }
  }


內層迴圈的時間複雜度在講到線性階時就已經得知是O(n)，現在經過外層迴圈n次，那麼這段演算法的時間複雜度則為O(n²)。
接下來我們來算一下下面演算法的時間複雜度：

  for(int i=0;i<n;i++){   
      for(int j=i;j<n;i++){
         //複雜度為O(1)的演算法
         ...
      }
  }


需要注意的是內迴圈中int j=i，而不是int j=0。當i=0時，內迴圈執行了n次；i=1時內迴圈執行了n-1次，當i=n-1時執行了1次，我們可以推算出總的執行次數為：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n²/2+n/2

根據此前講過的推導大O階的規則的第二條：只保留最高階，因此保留n²/2。根據第三條去掉和這個項的常數，則去掉1/2,最終這段程式碼的時間複雜度為O(n²)。

其他常見覆雜度

除了常數階、線性階、平方階、對數階，還有如下時間複雜度：
f(n)=nlogn時，時間複雜度為O(nlogn)，可以稱為nlogn階。
f(n)=n³時，時間複雜度為O(n³)，可以稱為立方階。
f(n)=2ⁿ時，時間複雜度為O(2ⁿ)，可以稱為指數階。
f(n)=n!時，時間複雜度為O(n!)，可以稱為階乘階。
f(n)=(√n時，時間複雜度為O(√n)，可以稱為平方根階。
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