時間複雜度計算和舉例說明

victorfengming發表於2021-03-04
時間複雜度
  1. 一般情況下，演算法中的基本操作語句的重複執行次數是問題規模n的某個函式，用T(n)表示，若有某個輔助函式f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T(n) / f(n)的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函式。記作 T(n)=Ｏ( f(n) )，稱Ｏ( f(n) ) 為演算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。
  2. T(n)不同，但時間複雜度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 與 T(n)=3n²+2n+2 它們的T(n) 不同，但時間複雜度相同，都為O(n²)。
  3. 計算時間複雜度的方法：
    • 用常數1代替執行時間中的所有加法常數 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
    • 修改後的執行次數函式中，只保留最高階項 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
    • 去除最高階項的係數 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

說白了就是找一個函式F(n)和T(n)對於複雜度的表示是等價的

當這個n趨近於無窮大的時候

然後這個F(n)更加容易計算,嗯

常見的時間複雜度

這個敲黑板,劃重點了

  1. 常數階O(1)
  2. 對數階O(log2n)
  3. 線性階O(n)
  4. 線性對數階O(nlog2n)
  5. 平方階O(n^2)
  6. 立方階O(n^3)
  7. k次方階O(n^k)
  8. 指數階O(2^n)

留高次項和他的係數

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說明：

常見的演算法時間複雜度由小到大依次為：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n)，隨著問題規模n的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，演算法的執行效率越低 從圖中可見，我們應該儘可能避免使用指數階`的演算法.

只要在你的演算法中出現指數階,你的演算法一定很慢的

常數階是最穩的

嗶哩嗶哩動畫

舉例

常數階O(1)

無論程式碼執行了多少行，只要是沒有迴圈等複雜結構，那這個程式碼的時間複雜度就都是O(1)

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m=i+j;

上述程式碼在執行的時候，它消耗的時候並不隨著某個變數的增長而增長，那麼無論這類程式碼有多長，即使有幾萬幾十萬行，都可以用O(1)來表示它的時間複雜度。

對數階O(log2n)

int i = 1;
while(i<n)
{
    i = i*2;
}

說明：在while迴圈裡面，每次都將 i 乘以 2，乘完之後，i 距離 n 就越來越近了。假設迴圈x次之後，i 就大於 2 了，此時這個迴圈就退出了，也就是說 2 的 x 次方等於 n，那麼 x = log2n也就是說當迴圈 log2n 次以後，這個程式碼就結束了。因此這個程式碼的時間複雜度為：O(log2n) 。 O(log2n) 的這個2 時間上是根據程式碼變化的，i = i * 3 ，則是 O(log3n) .

回顧一下

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線性階O(n)

for(i=1;i<=n;++i)
{
    j = i;
    j++;
}

說明：

這段程式碼，for迴圈裡面的程式碼會執行n遍，因此它消耗的時間是隨著n的變化而變化的，因此這類程式碼都可以用O(n)來表示它的時間複雜度

線性對數階O(nlogN)

for(m=1;m<n;m++)
{
    i=1;
    while(i<n){
        i = i*2;
    }
}

說明：線性對數階O(nlogN) 其實非常容易理解，將時間複雜度為O(logn)的程式碼迴圈N遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

平方階O(n²)

for(x=1;i<n;x++)
{
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        j=1;
        j++;
    }
}

說明：平方階O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的程式碼再巢狀迴圈一遍，它的時間複雜度就是 O(n²)，這段程式碼其實就是巢狀了2層n迴圈，它的時間複雜度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果將其中一層迴圈的n改成m，那它的時間複雜度就變成了 O(mn)

立方階O(n³)、K次方階O(n^k)

說明：參考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相當於三層n迴圈，其它的類似

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秋葉夏風

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