質因數分解的複雜是公認，這也是我們將他作為 RSA (一種廣泛使用的公鑰加密演算法)的數學難題的原因。
\(N=P*Q\) (P、Q是質數)，n = length of N in bit
對於這麼一個N，我們因數分解得到結果的時間複雜度是 \(2^n\) ，因為這個複雜，所以也有一堆的數學家在努力降低這個的時間複雜度，目前的優化結果的時間複雜度是 \(2^{ \sqrt[3]{n}}\) 。
那麼量子是否能夠有更好的結果呢？
在講因數分解之前，需要先提週期查詢演算法。
週期查詢 Period Finding
週期查詢的基礎是 量子傅立葉變換 。
Input :
\(f:(0,1,2,…,M-1) \rightarrow S\) for all x \(f(x)=f(x+r)\)
challenge ：
find r
condition:
1) f is 1-1 on period 在週期內，f是一個一一對應的函式
2）\(M>>r\) \(M>2r^2\)
3）M能夠被r整除 （這是一個簡化條件，稍後會有不簡化的怎麼辦）
這個電路，我的輸入是 $ \frac{1}{\sqrt M} \sum_{x=0}^{M-1} |x\rangle |0\rangle$
經過f(x)後，我的量子疊加態是 $ \frac{1}{\sqrt M} \sum_{x=0}^{M-1} |x\rangle |f(x)\rangle$
此時，如果測量了下面的 f(x)，那麼上面的量子態會坍縮，會變成只有f(x)等於測量結果的x，顯而易見，這是一個周期函式。
在 量子傅立葉變換 中，我們提到過傅立葉變換的第一個特點，當輸入shift了，結果是不會變的。
如果我們輸入的量子態的概率幅為 \(\alpha_0 , \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,…, \alpha_{N-1}\) ，輸出的量子態的概率幅為 \(\beta_0 , \beta_1, \beta_2, \beta_3,…, \beta_{N-1}\)
則，當我們將輸入的概率幅變為：\(\alpha_{N-},\alpha_0 , \alpha_1, \alpha_2, …, \alpha_{N-2}\) 輸出的概率不變。(這裡寫得是概率，不是概率幅，概率是概率幅的平方)
也就是說，我測量的隨機結果可能是這個週期當中的i個值，我也能shift成在第一個位置。
即，把 [0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ……] (每個週期五個，第三個為1，其餘為0) 變成 [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 …… ] (每個週期五個，第三個為1，其餘為0) 。
他們經過傅立葉變換後的結果是一樣的。
其實到這裡，我們發現，我們測不測量f(x)其實都沒有關係，因為在這前面所有測量結果對應的x，都是同一個週期的周期函式，因為shift的原因，他們傅立葉變換後的結果都是一樣的。
那麼，這麼做的意義是？
量子傅立葉變換還有第二個特點：傅立葉變換可以改變周期函式的週期。
他可以把週期為r的函式，變成周期為 \(\frac{M}{r}\) 的函式。
對最後的這個函式測量，得到的結果是 \(\frac{M}{r}\) 的倍數，多測量幾次就知道了 \(\frac{M}{r}\) 的值。知道了這個值，很容易反推出r的值，週期查詢完成。
如果沒有簡化條件呢？
即，M不是r的倍數。
那，假設測量結果為L，則找到一個最接近 \(\frac{L}{M}\) 的分數 \(\frac{t}{r}\) ，唯一的要求是 \(M>2r^2\) 最後通過一種叫做continued fraction的方法找到r。
因數分解
一個例子：
問題：找N=21的因數。
解法：
step 1:
\(2^0=1 (\mod 21)\) 除以21後餘數為1
\(2^1=2 (\mod 21)\)
\(2^2=4 (\mod 21)\)
\(2^3=8 (\mod 21)\)
\(2^4=16 (\mod 21)\)
\(2^5=11 (\mod 21)\)
\(2^6=1 (\mod 21)\)
step 2:
\(2^6-2^0=0 (\mod 21)\)
\(2^6-1=0 (\mod 21)\)
\((2^3-1)(2^3+1)=0 (\mod 21)\)
到這一步，我們發現了什麼？
\((2^3-1)(2^3+1)\)是21的倍數，那麼他的兩個因數 \((2^3-1)\) 和 \((2^3+1)\) 一定和21有公約數。
gcd(21,7)=7
gcd(21,9)=3
gcd求最大公約數大家還熟悉嗎？
比如說，我們相找21和15的最大公約數。
\(21=15*1+6\)
\(15=6*2+3\)
\(6=3*2+0\)
最大公約數就是最後一個不為0的餘數，這裡就是3。求最大公約數的演算法很快，大概是在 \(log N\) 的級別。
那麼現在的問題其實就是step1 ，找到函式 \(f(a)=x^a \mod N\) 的週期，在上述例子中 \(2^0\) 和 \(2^6\) 取餘相等，這就是一個週期，週期為6.
現在因數分解問題就全部轉化為了週期查詢問題。
而週期查詢問題恰好，有量子加速的方法，前文已經提過了，不再累述，我們知道週期查詢有一個前提條件是 \(M> 2r^2\) ，在這個例子中，我們不知道r是多少，這個是我們要求的，但是我們知道，r<N，所以直接讓 \(M > 2N^2\) 就好。
變成電路圖就是：
得到週期，然後經過 step 2 就是我們想要的因數分解。