演算法 - 查詢

在演算法中用的比較多的查詢演算法是二分查詢，在這裡梳理一下整數二分和浮點數二分的思路。

將來複習資料結構的話也會在這裡補充。

二分查詢

（一）是什麼

二分查詢（折半查詢：Binary Search）的查詢過程：先確定待查記錄所在的範圍（區間），然後逐步縮小範圍直到找到或找不到該記錄為止。

注：

就算是找不到這個記錄最終也是可以停下的，只不過停下的位置對應的值並不是想要的。

（二）優勢

時間複雜度低：O(logn)

推導：

資料大小為n，每次查詢後資料都會減半，最壞情況為直到區間數為1個時才停止，即：n * (1/2)的x次方 = 1

解得x = logn

（三）兩個板子演算法

首先必須清楚一件事，二分演算法解決的本質是：尋找某一性質的邊界，給出的兩個板子就是找到性質1的右邊界（箭頭1）和性質2的左邊界（箭頭2）。

1.確定性質1的邊界——找箭頭1

mid = l + r + 1 >> 1

if(check(mid)): //判斷是否滿足該性質

Ture

mid在箭頭1的左邊，那要找到箭頭的話需要改變區間：l = mid，使[l, r] -> [mid, r] （包含mid，因為mid也滿足性質。下同理）。

False

mid在箭頭1的右邊，需要：r = mid - 1， 使[l, r] -> [l, mid -1]

2.確定性質2的邊界——找箭頭2

mid = l + r >> 1

if(check(mid)): //判斷是否滿足該性質

Ture

r = mid, [l, r] -> [l, mid]

False

l = mid + 1, [l, r] -> [mid + 1, r]

板子如下：

注意：

1.l = mid時mid後面需要+1

2.這兩個板子的返回結果就是兩個邊界

3.圖中的性質1和性質2往往對應的是小於和大於

bool check(int x){/* ... */}

int bsearch_1(int l, int r){

//性質1

while(l < r){

int mid = l + r + 1 >> 1;

if(check(mid)) l = mid;

else r = mid - 1;

}

return r; //此時l和r一樣，返回誰都可以

}

int bsearch_2(int l, int r){

//性質2

while(l < r){

int mid = l + r >> 1;

if(check(mid)) r = mid;

else l = mid + 1

}

return l;

}

AcWing 789. 數的範圍

這道題就是怎麼用了。比如1 2 2 3 3 4問你3的起始位置和終止位置。（從0開始）

既然是有序的，那很輕易可以看出1 2 2 是<3的，4>3，我們可以將問題轉化為尋找 <=3 右邊界和 >=3 的左邊界。

<=3 的右邊界是位置4，>=3 的左邊界是位置3， 很明顯不是我們想要的答案。那我們直接顛倒順序，尋找 >=3 的左邊界 和 <=3 的右邊界就可以解決問題。

如果尋找不到，那麼邊界位置的值一定不是尋找的值，一個if語句就可以解決。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];

int n, q;

int main(){

    scanf("%d%d", &n, &q);

    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d", &a[i]);

    while(q --){

        int k;

        scanf("%d", &k);

        //尋找k的左邊界

        //>=k的左邊界，滿足性質2

        int l = 0, r = n - 1;

        while(l < r){

            int mid = (l + r) >> 1;

            if(a[mid] >= k) r = mid;

            else l = mid + 1;

        }

        if(a[l] != k) cout << "-1 -1"<<endl;

        else{

            printf("%d ", l);

            //尋找k的右邊界

            //<=k的右邊界，滿足性質1

            l = 0, r = n - 1;

            while(l < r){

                int mid = (l + r + 1) >> 1;

                if(a[mid] <= k) l = mid; // l = mid 前面的mid應該+1

                else r = mid - 1;

            }

            printf("%d\n", r);

        }

    }

    return 0;

}

最常用的就是上面的整數二分板子了，浮點數二分更簡單，沒有+1-1的那些事兒。板子如下：

const double eps = 1e-6 ;一般定義的比題給的小兩位

double bsearch_3(double l, double r){

while(r - l > eps){

double mid = l + r >> 1;

if(check(mid)) r = mid;  //結合題

else l = mid;

}

return l;

}

eg.求三次方根

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const double eps = 1e-8 ;//經驗之談，eps比題目要求的多兩位

int main(){

    double n;

    scanf("%lf", &n);

    double l = -10000, r = 10000;

    while(r - l > eps){

        double mid = (r + l)/2;

        if(mid * mid * mid >= n) r = mid;

        else l = mid;

    }

    printf("%lf", l); //double型別輸出預設是6位，符合題目要求

    

    return 0;

    

}

（四）哪些情況使用

這裡談論的就不僅僅是演算法了，還有資料結構的一些東西。

儲存的資料結構應該是可以實現隨機訪問的陣列，而不是連結串列。（連結串列不支援隨機訪問）

陣列內的資料必須有序

更適合處理靜態資料（沒有頻繁的資料插入、刪除操作）

太小的不適合，因為順序查詢就可以解決

太大的也不適合，因為二分底層依賴的就是陣列，而陣列在記憶體中就是一段連續的空間，你需要1G的空間，即使記憶體剩下2G可能也不夠用，因為剩餘的2G可能是離散分配後的結果，並沒有1G的連續空間。

二分依賴的只有陣列，所以大部分情況還是可以解決的。同時二分可以解決的雜湊表、二叉樹也都可以解決。這些以後再補充，演算法這裡最常用的是二分。

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