緒論&第一章

內容簡介

全書共分 18 章，主要內容有：電路模型和電路定律、電阻電路的等效變換、電阻電路的一般分析、電路定理、含有運算放大器的電阻電路、儲能元件、一階電路和二階電路的時域分析、相量法、正弦穩態電路的分析、含有耦合電感的電路、電路的頻率響應、三相電路、非正弦週期電流電路和訊號的頻譜、線性動態電路的複頻域分析、電路方程的矩陣形式、二埠網路、非線性電路、均勻傳輸線，另有磁路和鐵心線圈、PSpice 簡介和 MATLAB 簡介三個附錄。

緒論

一、課程定位

"電路" 課程是高等學校電子與電氣資訊類專業的重要的基礎課，是所有強電專業和弱電專業的必修課。學習本課程要求學生具備必要的電磁學和數學基礎知識。

"電路" 課程以分析電路中的電磁現象，研究電路的基本規律及電路的分析方法為主要內容。

透過本課程的學習，使學生掌握電路的基本理論知識、電路的基本分析方法和初步的實驗技能，為進一步學習電路理論打下初步的基礎，為學習電子與電氣資訊類專業的後續課程準備必要的電路知識。因此，"電路" 課程在整個電子與電氣資訊類專業的人才培養方案和課程體系中起著承前啟後的重要作用。

二、電路理論及相關科學技術的發展簡史

人類對電磁現象的認識始於對靜電、靜磁現象的觀察。1729 年，英國人S.格雷將材料分為兩類 — 導體和絕緣體。美國科學家富蘭克林（B.Franklin，1706 — 1790）於 1749 年提出了正電和負電的概念。1785 — 1789 年，法國人庫侖（C.A.Coulomb）定量地研究了兩個帶電體間的相互作用，得出了歷史上最早的靜電學定律 — 庫侖定律。

1800 年，義大利物理學家伏特（A.Vlota，1745 — 1827）發明了伏打電池，它能夠把化學能不斷地轉變為電能，維持單一方向的持續電流。這一發明為人們深入研究電化學、電磁學以及它們的應用打下了物質基礎。以後很快發現了電流的化學效應、熱效應以及利用電來照明等。

1820 年，丹麥物理學家奧斯特（H.C.Oersted，1777 — 1851）透過實驗發現了電流的磁效應，在電與磁之間架起了一座橋樑，開啟了近代電磁學的突破口。

1825 年，法國科學家安培（A.M.Ampere，1775 — 1836）提出了著名的安培環路定律。他從 1820 年開始在測量電流的磁效應中，發現兩個載流導線可以互相吸引，又可以相互排斥。這一發現成為研究電學的基本定律，為電動機的發明作了理論上的準備。

1826 年，德國人歐姆（G.S.Ohm，1787 — 1854）在多年實驗基礎上，提出了著名的歐姆定律：在恆定溫度下，導線迴路中的電流等於迴路中的電動勢與電阻之比。歐姆又將這一定律推廣於任意一段導線上，並得出導線中的電流等於這段導線上的電壓與電阻之比。

1831 年，英國物理學家法拉第（M.Faraday，1791 — 1867）發現了電磁感應現象。當他繼續奧斯特的實驗時，他堅信，既然電能產生磁，那麼磁也能產生電。他終於發現在磁場中運動的導體會產生感生電動勢，並能在閉合導體迴路中產生電流。這一發現成為發電機和變壓器的基本原理，從而使機械能變為電能成為可能。

1832 年，亨利提出了表徵線圈中自感應作用的自感係數L。

1834 年，俄國人楞次提出感應電流方向的定律，即著名的楞次定律。

1838 年，畫家出身的美國人莫爾斯（S.F.Morse，1791 — 1872）發明了電報。

1845 年，德國科學家基爾霍夫（G.R.Kirchhoff，1824 — 1887）在深入研究了歐姆的工作成果之後，提出了電路的兩個基本定律 — 基爾霍夫電流定律（簡稱 KCL）和基爾霍夫電壓定律（簡稱 KVL）。它是集總引數電路中電壓、電流必須服從的規律。

1853 年，湯姆遜（W.Thomson，1824 — 1907，即開爾文勳爵）採用電阻、電感和電容的電路模型，分析了萊頓瓶的放電過程，得出電振盪的頻率。

同年，亥姆霍茲提出電路中的等效發電機定理。

1854 年，湯姆遜發表了電纜傳輸理論，分析了訊號的衰減、延遲、失真等現象。

1857 年，基爾霍夫考慮到架空傳輸線與電纜不同，得出了包括自感係數在內的完整的傳輸線上電壓及電流方程式，稱之為電報員方程或基爾霍夫方程。至此，包括傳輸線在內的電路理論就基本建立起來了。

1864 年，英國物理學家麥克斯韋（J.C.Maxwell，1831 — 1879）總結了當時所發現的種種電磁現象的規律，將它表達為麥克斯韋方程組，預言了電磁波的存在，為電路理論奠定了堅實的基礎。

1887 年，德國物理學家赫茲（H.R.Hertz，1857 — 1894）經過艱苦的反覆實驗，證明麥克斯韋所預言的電磁波確實存在。

1866 年，德國工程師西門子（E.W.Siemens，1823 — 1883）發現了電動機原理並用在了發電機的改進上。

1881 年，直流高壓輸電試驗成功。但由於直流高壓不便於使用者直接使用，同年在發明變壓器的基礎上又實現了遠距離交流高壓輸電。從此，電氣化時代開始了。

1876 年，美國科學家貝爾（A.G.Bell，1847 — — 1922）發明了電話。當時電報已很發達，貝爾在多路電報通訊實驗中，萌發了在電報線上通話的設想。在T.A.沃森的協助下，經過不懈的努力終於試驗成功。

1879 年，美國人愛迪生（T.A.Edison，1847 — 1931）發明了炭絲燈泡。1912 年美國人W.D.庫利奇發明了鎢絲燈泡，成為最普及的照明用具。

1880 年，英國人J.霍普金森提出了形式上與歐姆定律相似的計算磁路用的定律。

19 世紀末，交流電技術的迅速發展，促進交流電路理論的建立。1893 年，C.P.施泰因梅茨提出分析交流電路的複數符號法（相量法），採用複數表示正弦式的交流電，簡化了交流電路的計算。

瑞士數學家J.R.阿爾甘提出的向量圖，也成為分析交流電路的有力工具。

1894 年，義大利人馬可尼（G.Marconi，1874 — 1937）和俄國的波波夫分別發明了無線電。從此開始了無線電通訊的時代。

電真空器件的發明使電子工程的發展推進了一大步。英國科學家湯姆遜（J.J.Thomson，1856 — 1940）在 1895~1897 年間反覆測試，證明了電子確實存在。

隨後，英國科學家弗萊明（J.A.Fleming）在愛迪生發明的熱二極體的基礎上發明了實用的真空二極體。它具有單向導電特性，能用來整流或檢波。

1906 年，美國人德福雷斯特（L.DeForest）發明了真空三極體，它對微弱電訊號有放大作用。

1914 年，德福雷斯特用真空三極體又構成了振盪電路，使無線電通訊系統更加先進。

應用的需要導致了大規模發電及輸配電的出現和發展。在 19 世紀末還發生過一場 "交、直流之爭"。以愛迪生為代表的一方主張應用直流電，而另一方以G.威斯汀豪斯及其建立的西屋公司為代表，主張應用交流電。直到交流發電機、感應電動機、變壓器等發明之後，充分顯示了交流制的優點，交流制才得到廣泛的應用。

進入 20 世紀，1911 年英國工程師O.亥維賽提出阻抗的概念，還提出了求解電路瞬態過程的運演算法。1918 年，福臺克提出的對稱分量法，簡化了不對稱三相電路的分析。這一方法至今仍為分析三相交流電機、電力系統不對稱執行的常用方法。1920 年，G.A.坎貝爾、K.瓦格納研究了梯形結構的濾波電路。1924 年，R.M.福斯特提出電感電容二端網路的電抗定理。此後便建立了由給定頻率特性設計電路的網路綜合理論。

1925 年，英國人貝爾德（J.L.Baird）首先發明電視。幾乎在同時，美國無線電公司（R.C.A）的工程師茲沃雷金（V.K.Zworykin）發明了電視映象管。1933 年，他利用真空二極體、真空三極體和映象管，最早發明了電視機。1936 年，黑白電視機正式問世了。

在電子管被發明後，電子電路的技術迅速發展。1932 年瑞典人H.奈奎斯特提出了由反饋電路的開環傳遞函式的頻率特性判斷閉環系統穩定性的判據。1945 年美國人H.W.伯德出版了《網路分析和反饋放大器》一書，總結了負反饋放大器的原理，由此形成了分析線性電路和控制系統的頻域分析方法，並得到廣泛的應用。

1947 年 12 月 24 日，貝爾實驗室的布拉頓（W.H. Brattain）、巴丁（J.Bardeen）和肖克利（W.B.Shockley）發明了一種點接觸電晶體。這項發明自從 1948 年公佈於世起，很快就應用於通訊、電視、計算機等領域，電子技術進入了半導體時代。

1958 年發明了積體電路，它將構成電子電路的電阻、電容、二極體、電晶體和導線都製造在一塊幾平方毫米的半導體晶片上，從而使體積大大縮小。現在積體電路已從含幾十個電晶體的小規模積體電路發展到含上下百萬個電晶體的超大規模積體電路，電子技術進入了積體電路時代。

從 20 世紀 30 年代開始，電路理論已形成為一門獨立的學科。建立了各種元器件的電路模型。成功地運用電阻、電容、電感、電壓源、電流源等幾種理想元件，近似地表徵成千上萬種實際電氣裝置。到 20 世紀 50 年代末，電路理論在學術體系上基本完善，這一發展階段稱為經典電路理論階段。

在 20 世紀 60 年代以後，電路理論又經歷了一次重大的變革，這一變革的主要起源是新型電路元件的出現和計算機的衝擊，電路理論無論在深度和廣度方面均得到巨大的發展。因此又稱 20 世紀 60 年代以後的電路理論為近代電路理論。

近代電路理論的主要特點之一是吉爾曼（Guillemin）將圖論引入電路理論之中。它為應用計算機進行電路分析和積體電路佈線與板圖設計等研究提供了有力的工具。特點之二是出現大量新的電路元件、有源器件，如使用低電壓的MOS電路，摒棄電感元件的電路，進一步摒棄電阻的開關電容電路等。當前，有源電路的綜合設計正在迅速發展之中。特點之三是在電路分析和設計中應用計算機後，使得對電路的最佳化設計和故障診斷成為可能，大大地提高了電子產品的質量並降低了成本。

三、電路理論的應用

電路理論是高等學校電子與電氣資訊類專業的技術基礎課，為該類專業的後續許多課程提供理論支援，例如類比電子技術、數位電子技術、訊號與系統、電機學、電力系統分析、積體電路設計、自動控制、電力電子技術等課程都用到電路理論。

四、電路理論和 "電路" 課程

電路理論是電氣工程和電子科學技術的主要理論基礎，是一門研究電路分析和網路綜合與設計基本規律的基礎工程學科。所謂電路分析是在電路給定、引數已知的條件下，透過求解電路中的電壓、電流而瞭解電網路具有的特性；而網路綜合是在給定電路技術指標的情況下，設計出電路並確定元件引數，使電路的效能符合設計要求。因此電路分析是電路理論中最基本的部分，是學習電路理論的人門課程，被列為電類各專業共同需要的技術基礎課。

第一章 電路模型和電路定律

本草介紹電路模型、電路元件的概念，電壓、電流參考方向的概念，元件、電路吸收或發出功率的表示式和計算；還介紹電阻、獨立電源和受控電源等電路元件。

電路中的電壓、電流之間具有兩種約束，一種是由電路元件決定的元件約束；另一種是元件間連線而引入的幾何約束（又稱拓撲約束），後者由基爾霍夫定律來表達。基爾霍夫定律是集總引數電路的基本定律。

1.1 電路和電路模型

實際電路是為完成某種預期目的而設計、安裝、執行（也可以是在非預期情況，例如短路、漏電等），由電路部件（例如電阻器、蓄電池等）和電路器件（例如電晶體、積體電路等）相互連線而成的電流通路裝置。實際電路常藉助於電壓、電流而完成傳輸電能或訊號、處理訊號、測量、控制、計算等功能。其中，電能或電訊號的發生器稱為電源，用電裝置稱為負載。由於電路中的電壓、電流是在電源的作用下產生的為，因此電源又稱為激勵源或激勵；由激勵而在電路中產生的電壓、電流稱為響應。有時，根據激勵與響應之間的因果關係，把激勵稱為輸入，響應稱為輸出。

術語：

集總引數電路和分佈引數電路。

部件、器件、元件、零件

電路部件、電路器件

直流：電流的大小和方向都不變。

交流：除了直流。

強電通常用來傳遞能量（電能）。

弱電通常用來傳遞資訊。

同義詞：

電能或電訊號的發生器，電源，激勵源，激勵，輸入。

用電裝置，負載。

電壓、電流，響應，輸出。

本書的主要內容是介紹電路理論的入門知識併為後續課程的學習準備必要的基礎。電路理論研究電路中發生的電磁現象，並用電流、電壓、電荷、磁通等物理量來描述其中的過程。電路理論主要是計算電路中各部件、器件的端子電流和端子間的電壓，一般不涉及內部發生的物理過程。本書討論的物件不是實際電路而是實際電路的電路模型。實際電路的電路模型由理想電路元件相互連線而成，理想元件是組成電路模型的最小單元，是具有某種確定電磁性質並有精確數學定義的基本結構。在一定的工作條件下，理想電路元件及它們的組合足以模擬實際電路中部件、器件中發生的物理過程。在電路模型中各理想元件的端子是用 "理想導線" 連線起來的。根據元件對外端子的數目，理想電路元件可分為二端、三端、四端元件等。

理想導線的電阻為零，且假設當導線中有電流時，導線內、外均無電場和磁場。理想導線在電路模型中表現為線段。

5 種基本的理想電路元件：

電阻元件：用來表示消耗電能的元件。

電感元件：用來表示產生磁場，儲存磁場能量的元件。

電容元件：用來表示產生電場，儲存電場能量的元件。

電流源：用來表示將其它形式的能量轉變成電能的元件。

電壓源：同上。

其中，電感和電容是對偶關係。

電感和電容只儲存或轉移電能，不會消耗電能。

5 種基本理想電路元件有三個特徵：

1. 只有兩個端子；
2. 可以用電壓或電流按數學方式描述，即表述為 f(u,i)；
3. 不能被分解為其他元件。

每一種理想電路元件都有其標準畫法。

由電路理論的研究內容可知，在將實際部件、器件抽象為理想元件時，只關心實際部件、器件的電磁性質。電磁性質相同的不同實際器件、部件，在一定的條件下可以抽象為相同的理想元件。同一個實際部件、器件，在不同情況下，可能需要抽象為不同的理想元件。

用理想電路元件或它們的組合模擬實際器件就是建立其模型，簡稱建模。建模時必須考慮工作條件，並按不同準確度的要求把給定工作情況下的主要物理現象和功能反映出來。例如，一個線圈的建模：在直流情況下，它在電路中僅反映為導線內電流引起的能量消耗，因此，它的模型就是一個電阻元件；在電流變化的情況下（包括交變電流），線圈電流產生的磁場會引起感應電壓，故電路模型除電阻元件還應包含一個與之串聯的電感元件；當電流變化甚快時（包括高頻交流），則還應計及線圈導體表面的電荷作用，即電容效應。所以其模型中還需要包含電容元件。可見，在不同的工作條件下，同一實際器件可能採用不同的模型。模型取得恰當，對電路進行分析計算的結果就與實際情況接近；模型取得不恰當，則會造成很大誤差甚至導致錯誤的結果。如果模型取得太複雜則會造成分析困難，取得太簡單則可能無法反映真實的物理現象。建模問題需要專門進行研究。

今後本書所涉及電路均指由理想電路元件構成的電路模型。同時將把理想電路元件簡稱為電路元件。有時把實際電路器件也稱為 "電路元件"。但本書中凡涉及 "電路元件" 均指理想化模型。

通常，電路又稱網路，本書中將不加區分地引用。

電路理論（或電網路理論）是一門研究網路分析和網路綜合或設計的基礎工程學科，它與近代系統理論有密切的關係。

本書的主要內容是電路分析，探討電路的基本定律和定理，並討論各種分析方法，為學習電氣工程技術、電子和資訊工程技術等建立必要的理論基礎。

網路分析（Analysis）問題，指給定電路結構、引數求解電路效能；網路綜合（Synthesis）問題，指給定電路效能要求，求電路結構、引數，是網路分析的逆問題；如果在綜合過程中還考慮其他諸如靈敏度、最佳化、成本、工藝等因素則成為電路設計。

1.2 電流和電壓的參考方向

物理量的表示：

電流：I

電壓：U

電荷：Q

磁通：\(\Phi\)

磁通鏈：\(\Psi\)

電功率：P

電能：W

一般情況，用大寫字母表示常量，用小寫字母表示隨時間變化的變數。即將 u(t)，i(t) 等簡寫為 u，i 等。

電流：帶電粒子的定向運動。

電流強度：單位時間內透過導體橫截面的電荷量。

電流的定義：

\[i(t) \overset{\rm def}{=} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} =\frac{dq}{dt} \]

電流的實際方向：正電荷的運動方向。

電勢 \(\Phi\)：單位正電荷 q 在電路中，從一點移至參考點（參考點的電勢為 0）時，電場力所做的功。

電壓 U：單位正電荷 q 在電路中，從一點移至另一點時，電場力所做的功。

\[U \overset{\rm def}{=} \frac{dW}{dq} \]

電壓的實際方向：電位真正降低的方向。

有些地方將電勢記為 v，但 v 容易和 u 混淆，因此不建議。

某一點的電勢和選擇哪一點為參考點有關。

某兩點之間的電壓和選擇哪一點作為參考點無關。

電壓，也叫電壓降，也叫兩點之間的電勢差。

電路中電位參考點可任意選擇；參考點一經選定，電路中各點的電位值就唯一確定；當選擇不同的電位參考點時，電路中各點電位值將改變，但任意兩點間電壓保持不變。

在電路分析中，當涉及某個元件或部分電路的電流或電壓時，有必要指定電流或電壓的參考方向。這是因為電流或電壓的實際方向可能是未知的，也可能是隨時間變動的。

下圖表示電流的參考方向：

導線上標識的箭頭表示電流的參考方向，參考方向是人為指定的，參考方向可以任意指定，方向是隨意的，指定一個參考方向的目的就是讓電流值變為代數量。

電流的參考方向有兩種表示方式：

1. 可以在導線上用箭頭來表達。
2. 也可以用雙下標來表示，例如，\(i_{AB}\) 表示參考方向是從 A 到 B 的。

一般都只用第一種方法，第二種方法要避免使用。

只有規定了參考方向，才能寫出隨時間變化的電流的函式式。

虛線表示電流的實際方向。實際方向可能是從 A 到 B 的，也可能是從 B 到 A 的。

當實際方向和參考方向相同時，電流值為正；當電流的實際方向和參考方向相反時，電流值為負。於是，在指定了參考方向後，電流的正負就反映了電流的實際方向。

作為代數量的電流可以表達電流大小和電流真實方向兩個資訊，電流值的絕對值表達電流值的大小，電流值的正負號結合指定的電流的參考方向可以判斷電流的真實方向。

同理，對電路兩點之間的電壓也可以指定參考方向或者參考極性。

在表示兩點之間的電壓時，用正極性（+）表示高電位，用負極性（-）表示低電位。正極指向負極的方向就是電壓的參考方向。指定了電壓的參考方向後，電壓就是一個代數量。如果實際電壓方向和電壓的參考方向相同，則電壓值為正；如果實際電壓方向和電壓的參考方向相反，則電壓值為負。

電壓的參考方向有三種表示方式：

1. 用正（+）負（-）極性表示。
2. 在電路旁邊用一個帶箭頭的線表示。
3. 用雙下標表示，例如，\(u_{AB}\) 表示 A 點和 B 點兩點之間的電壓，且參考方向是從 A 到 B 的。

注意：一般只用第一種方法。

一個元件的電流或電壓的參考方向可以獨立地任意指定。如果指定流過元件的電流的參考方向是從標以電壓正極性的一端指向負極性的一端，即兩者的參考方向一致，則把電流和電壓的這種參考方向稱為關聯參考方向；當兩者不一致時，稱為非關聯參考方向。

下圖中，a 和 b 是關聯參考方向，c 是非關聯參考方向。

分析電路前必須選定電壓和電流的參考方向。參考方向一經選定，必須在圖中相應位置標註（包括方向和符號），在計算過程中不得任意改變。參考方向不同時，其表示式相差一負號，但電壓、電流的實際方向不變。

關於電路中的做功：

上圖中，若單位正電荷從 a 到 b 電場力做功為 W1，單位正電荷從 b 到 c 電場力做功為 W2，則單位正電荷從 a 到 c 電場力做功為 W1+W2。做功可正可負，此處用代數值直接相加即可。

在國際單位制（SI）中，電流的單位為 A（安培，簡稱安），電荷的為單位為 C（庫侖，簡稱庫），電壓的單位為 V（伏特，簡稱伏）。

1.3 電功率和能量

電路在工作狀態下一定會發生電能和其他形式能量的轉換。

電氣裝置、電路部件本身都有功率的限制，在使用時要注意其電流值或電壓值是否超過額定值，過載會使裝置或部件損壞，或是不能正常工作。

電功率與電壓和電流密切相關。當正電荷從元件上電壓的 "+" 極經元件運動到電壓的 "-" 極時，與此電壓相應的電場力要對電荷作正功，這時，元件吸收能量；反之，正電荷從電壓的 "-" 極經元件運動到電壓 "+" 極時，與此電壓相應的電場力作負功，元件向外釋放電能。

電場力做正功，元件吸收電能；電場力做負功，元件釋放電能。

電功率即單位時間電場力所做的功。

如果在 dt 時間內，有 dq 電荷自元件上電壓的 "+" 極經歷電壓 u 到達電壓的 "-" 極，根據電壓的定義（A、B 兩點的電壓 u 等於電場力將單位正電荷自 A 點移動至 B 點時所作的功），電場力所作功，也即元件吸收的的能量為

\[dW=udq \]

現在假設 i 在元件上與 u 成關聯方向，由 i 的定義 i=dq/dt，有 dW= uidt，功率是能量的導數，故元件的吸收功率為：

\[p=\frac{dW}{dt} =ui \]

在 \(t_{0}\) 到 t 的時間內，元件吸收的能量為：

\[W(t)=\int dW=\int_{q(t_{0})}^{q(t)} udq=\int_{t_{0}}^{t} u(\xi )i(\xi )d\xi \]

由於 u、i 都是代數量，因此，功率 p 和吸收的能量 W 也都是代數量。當 p>0，W>0，元件確實吸收功率與能量；當 p<0，W<0 時，元件實際釋放電能或發出功率。

當電流單位為 A，電壓的單位為 V，時間的單位為 s（秒）時，能量的單位為 J（焦耳，簡稱焦），功率的單位為 W（瓦特，簡稱瓦）。

Watt 瓦特

Joule 焦耳

在指定電壓和電流的參考方向後，應用式 \(p=ui\) 求功率 p 時應當注意：當電壓和電流的參考方向為關聯參考方向時，乘積 ui 表示元件吸收的功率；當 p 為正值時，表示該元件確實吸收功率。如果電壓和電流的參考方向為非關聯參考方向時，乘積 ui 表示元件發出的功率，此時，當 p 為正值時，該元件確實發出功率。

一個元件若吸收功率 100W，也可以認為它發出功率 -100W，同理，一個元件若發出功率 100W，也可以認為它吸收功率 -100W。這兩種說法是一致的。

求功率的方法：先寫出公式 ui，再在前面加兩次正負號，第一次看 u 和 i 是否是關聯參考方向，若是關聯參考方向，則加 +，若是非關聯參考方向，則加 -。再看若求的是吸收的功率，則加 +，若求的是釋放的功率，則加 -。

全部按吸收的功率求解時，吸收的功率有正有負，正表示實際確實吸收功率，負表示實際是釋放功率。此時全按吸收求出來的功率的和為零。全按釋放的功率求解的結果之和也為零，原因同上。

恆定量的除法在變數中變為求導，是求導函式而不是求導函式在某一點的值。恆定量的乘法在變數中變為積分，且是求變上限積分。

求導函式和求變上限積分是對偶關係。

由於能量守恆，而功率是能量對時間的導數，則某一時刻的功率也守恆。

功率和能量的正負號一定是一致的，要麼都是正，要麼都是負。

1.4 電路元件

電路元件是電路中最基本的組成單元。電路元件透過其端子與外部連線。元件的特性透過與端子有關的電路物理量描述。每種元件透過端子的兩種物理量反映一種確定的電磁性質。元件的兩個端子的電路物理量之間的代數函式關係稱為元件的端子特性（亦稱元件特性）。集總（引數）元件假定：在任何時刻流入二端元件的一個端子的電流一定等於從另一端子流出的電流，且兩個端子之間的電壓為單值量。由集總元件構成的電路稱為集總電路，或稱具有集總引數的電路。用有限個集總元件及其組合模擬實際的部件和器件以及用集總電路作為實際電路的電路模型是有條件的。

集總引數電路和分佈引數電路成對偶關係。

視為集中元件（電路）的條件：d <<λ

d 為電路或元件的尺寸。

λ 為電磁波的波長。

集總電路中的 u 和 i 可以是時間的函式，但是和空間座標無關。即 u 和 i 可以和時間有關，但一定和空間無關。

電路物理量有電壓 u、電流 i、電荷 q 以及磁通 \(\Phi\)（或磁通鏈 \(\Psi\)）等。電阻元件的元件特性是電壓 u 與電流 i 的代數關係 u=f(i)；電容元件的元件特性是電荷 q 與電壓 u 的代數關係 q=h(u)；電感元件的元件特性是磁通鏈 \(\Psi\) 與電流 i 的代數關係 \(\Psi=g(i)\)。

如果表徵元件特性的代數關係是一個線性關係，則該元件稱為線性元件。如果表徵元件特性的代數關係是一個非線性關係，則該元件稱為非線性元件。

電路元件按與外部連線的端子數目可分為二端、三端、四端元件等。電路元件還可分為線性元件和非線性元件，時不變元件和時變元件，無源元件和有源元件等。

集總引數（Lumped Parameter）元件是指有關電、磁場物理現象都由元件來 "集總" 表徵。在元件外部不存在任何電場與磁場。如果元件外部有電場，進、出端子的電流就有可能不同；如果元件外部有磁場，兩個端子之間的電壓就可能不是單值的。

集總引數元件假定元件所發生的所有電磁過程全部集中在元件內部進行，在元件外部不存在任何電場和磁場。

1.5 電阻元件

線性電阻元件是這樣的理想元件：在電壓和電流取關聯參考方向時，在任何時刻其兩端的電壓和電流服從歐姆定律：

\[u=Ri \]

R 為電阻元件的引數，稱為元件的電阻。R 是一個正實常數。

當電壓單位用 V，電流單位用 A 時，電阻的單位為 Ω（歐姆，簡稱歐）。

令 \(G=\frac{1}{R}\)，則有 \(i=Gu\)。

G 稱為電阻元件的電導，單位是 S（西門子，簡稱西）。

R 和 G 都是電阻元件的引數。

電流和電壓取非關聯參考方向時，有 u=-Ri，i=-Gu。

歐姆定律只適用於線性電阻，即 R 和 G 都是常數。

歐姆定律說明線性電阻是無記憶的、雙向性的元件。這一點區別於電感和電容。

Ohm：歐姆
Siemens：西門子

電阻可認為是對電流的阻礙，電導可認為是對電流的導通。R 越大則阻礙越大，則 G 越小，即導通能力越小。

由於電壓和電流的單位是伏和安，因此電阻元件的特性稱為伏安特性。

不存在阻值小於等於零的電阻。存在相當於阻值小於等於零的電阻的東西，比如電源。一個電路中有一個或多個電源，至少有一個電源的電流和電壓取非關聯參考方向，因為只有這樣這個電源才是釋放電能。對於非關聯參考方向的電源，根據歐姆定律可知電阻為負。這裡只是 "相當於"，因為歐姆定律不適用於電源。

線性電阻元件的伏安特性曲線是透過原點的一條線。直線的斜率與元件的電阻 R 有關。

電阻元件及其伏安特性曲線：

當一個線性電阻元件的端電壓不論為何值時，流過它的電流恆為零值，就把它稱為 "開路"。開路的伏安特性曲線在 u-i 平面上與電壓軸重合，它相當於 R=∞ 或 G=0。當流過一個線性電阻元件的電流不論為何值時，它的端電壓恆為零值，就把它稱為 "短路"。短路的伏安特性曲線在 u-i 平面上與電流軸重合，它相當於 R=0 或 G=∞。如果電路中的一對端子之間呈斷開狀態，這相當於兩個端子之間接有 R=∞ 的電阻，此時稱兩個端子處於 "開路"。如果把兩個端子用理想導線（電阻為零）連線起來，稱這對端子被短路。

開路和短路的伏安特性曲線：

當電壓 u 和電流 i 取關聯參考方向時，電阻元件消耗的功率為：

\[p=ui=Ri^{2}=\frac{u^{2}}{R}=Gu^{2}=\frac{i^{2}}{G} \]

如果 u 和 i 為非關聯參考方向，則電阻吸收的功率為 $p=-ui=(-)(-)Rii=Ri $，公式不變。

R 和 G 是正實常數，故功率 p 恆為非負值。所以線性電阻元件是一種無源元件。

電阻元件從 \(t_{0}\) 到 t 的時間內吸收的電能為：

\[W=\int_{t_{0}}^{t} Ri^{2}(\xi )d\xi \]

電阻元件一般把吸收的電能轉換成熱能或其他能量。

由於製作材料的電阻率與溫度有關，（實際）電阻器透過電流後因發熱會使溫度改變，因此，嚴格說，電阻器帶有非線性因素。但是在正常工作條件下，溫度變化有限，許多實際部件如金屬膜電阻器、線繞電阻器等，它們的伏安特性曲線近似為一條直線。所以用線性電阻元件作為它們的理想模型是合適的。

一點通識：通常情況，白熾燈溫度升高則電阻上升，光敏電阻接受光照後電阻下降。

非線性電阻元件的伏安特性曲線不是一條透過原點的直線。非線性電阻元件的電壓電流關係一般可寫為 \(u=f(i)\) 或 \(i=h(u)\)。

如果一個電阻元件具有以下的電壓電流關係：u(t)=R(t)i(t) 或 i(t)=G(t)u(t) 這裡 u 與 i 仍是比例關係，但比例係數 R 是隨時間變化的，故稱為時變電阻元件。

線性電阻元件的伏安特性曲線位於第一、三象限。如果一個電阻元件的伏安特性曲線位於第二、四象限，則此元件的電阻為負值，即 R<0。負電阻元件實際上是一個發出電能的元件。如果要獲得這種元件，一般需要專門設計。

今後，為了敘述方便，把線性電阻元件簡稱為電阻。

熱量 \(Q=I^{2}Rt\)

表示式 \(\frac{U^{2}}{R}t\) 無意義。

對於線性電阻，能量全用來發熱，則有 W=Q。

而線性電阻滿足歐姆定律，即 U=IR，帶入得 \(W=Q=\frac{U^{2}}{R}t\)，即便相等但表示式 \(\frac{U^{2}}{R}t\) 仍無物理意義。

對於其他元件，如電機，總功除了發熱還有機械能。則 W>Q，則 \(UIt>I^{2}Rt\)，即 U>IR，也驗證了不滿足歐姆定律。

此時表示式 \(\frac{U^{2}}{R}t\) 無意義，即表示式 \(\frac{U^{2}}{R}t\) 是根據歐姆定律推出的，本身無意義，也只有在歐姆定律滿足時才成立。

1.6 電壓源和電流源

實際電源有電池、發電機、訊號源等。電壓源和電流源是從實際電源抽象得到的電路模型，它們是二端有源元件。理想電源無內阻。

理想電壓源的定義：其兩端電壓總能保持定值或一定的時間函式，其值與流過它的電流i無關的元件叫理想電壓源。

理想電壓源簡稱為電壓源，因為本書只考慮電路模型，而電路模型是由理想電路元件構成的。

電壓源的端電壓由元件本身決定，流過它的電流由其電壓和外電路共同決定。

電壓源是一個理想電路元件，它的端電壓u(t)為 \(u(t)=u_{S}(t)\)。

式中 \(u_{S}(t)\) 為給定的時間函式，稱為電壓源的激勵電壓。電壓源電壓 u(t) 與透過元件的電流無關，總保持為給定的時間函式，而電流的大小則由外電路決定。

當 \(u_{S}(t)\) 為恆定值時，這種電壓源稱為恆定電壓源或直流電壓源，用 \(U_{S}\) 表示。

電壓源的圖形符號：

有時也可以用蓄電池的圖形符號表示直流電壓源，其中長線表示電源的 "+" 端：

下圖是電壓源接外電路的情況：

端子 1、2 之間的電壓 u(t) 等於 \(u_{s}(t)\)，不受外電路的影響。

上圖中，電壓源的電壓和透過電壓源的電流的參考方向取為非關聯參考方向，此時，電壓源發出的功率為 \(p(t)=u_{s}(t)i(t)\)。這也是外電路吸收的功率。因為整個電路功率平衡。

電流（正電荷）從低電位運動到高電位，電場力做負功，電壓源釋放電能。

非關聯參考方向要加一個負號，又因為求的是釋放的功率，則需要再加一個負號，於是就相當於不加正負號。

下圖示出電壓源在 \(t_{1}\) 時刻的伏安特性曲線，它是一條不透過原點且與電流軸平行的直線。當 \(u_{s}(t)\) 隨時間改變時，這條平行於電流軸的直線也將隨之平移其位置。

下圖是直流電壓源的伏安特性曲線，它不隨時間改變。

電壓源不接外電路時，電流 i 總為零值，這種情況稱為 "電壓源處於開路"。如果一個電壓源的電壓 \(u_{s}=0\)，則此電壓源的伏安特性曲線為 i-u 平面上的電流軸，它相當於短路。把 \(u_{s}≠0\) 的電壓源短路是沒有意義的，因為短路時端電壓 u=0，這與電壓源的特性不相容。

電壓源不允許被短路。如果短路，因為導線沒有電勢差，導線是等勢線，就要求電壓源兩端電勢相等，顯然不可能。

其輸出電流總能保持定值或一定的時間函式，其值與它的兩端電壓 u 無關的元件叫理想電流源。

電流源是一個理想電路元件。電流源發出的電流 i(t) 為 \(i(t)=i_{S}(t)\)。\(i_{S}(t)\) 為給定時間函式，稱為電流源的激勵電流。因而電流源的電流與元件的端電壓無關，並總保持為給定的時間函式。電流源的端電壓由外電路決定。

電流源的電流由元件本身決定。電流源兩端的電壓由元件本身和外電路共同決定。

電流源的圖形符號：

電流源接外電路的情況：

上圖中，電流源電流和電壓的參考方向為非關聯參考方向，所以電流源發出的功率為 \(p(t)=u(t)i_{S}(t)\)。它也是外電路吸收的功率。

電流源在 \(t_{1}\) 時刻的伏安特性曲線：

這是一條不透過原點且與電壓軸平行的直線。當 \(i_{s}(t)\) 隨時間改變時，這條平行於電壓軸的直線將隨之平移其位置。

下圖示出直流電流源的伏安特性曲線，它不隨時間改變。

電流源兩端短路時，其端電壓 u=0，而 \(i=i_{S}\)，短路電流就是激勵電流。如果一個電流源的 \(i_{S}=0\)，則此電流源的伏安特性曲線為 u-i 平面上的電壓軸，它相當於開路。把 \(i_{S}\ne 0 的\) 電流源開路是沒有意義的，因為開路時的電流 i 必須為零，這與電流源的特性不相容。

電流源不允許被開路。如果開路，從電流源出來的電流將無處可去。

電壓源不允許短路。

電流源不允許開路。

當電壓源的電壓 \(u_{s}(t)\) 或電流源的電流 \(i_{s}(t)\) 隨時間作正弦規律變化時，則稱為正弦電壓源或正弦電流源。以正弦電壓源為例，有：

\[\begin{align} u_{s}(t)&=U_{m}cos(\frac{2\pi }{T} t + \phi ) \\ &=U_{m}cos({2\pi }{f} t + \phi )\\ &=U_{m}cos(\omega t + \phi ) \end{align} \]

式中 \(U_{m}\) 為正弦電壓的最大值，T 為正弦函式的週期，f 為其頻率，單位為 Hz（赫茲，簡稱赫），ω=2πf 為角頻率，Φ 為正弦函式的初相角。正弦電壓也可以用 sine 函式表示。

常見實際電源（如發電機、蓄電池等）的工作機理比較接近電壓源，其電路模型是電壓源與電阻的串聯組合。像光電池一類器件，工作時的的特性比較接近電流源，其電路模型是電流源與電阻的並聯組合。另外，專門設計的電子電路可作為電流源而廣泛應用於積體電路之中。

光電池的採光極板接受一定的光通量時，在一定的電壓範圍內，其電流幾乎不變。相當於一個電流源。

上述電壓源和電流源常常被稱為 "獨立" 電源，"獨立" 二字是相對於 "受控" 電源來說的。

實際電流源的產生：可由穩流電子裝置產生，如電晶體的集電極電流與負載無關；光電池在一定光線照射下光電子被激發產生一定值的電流等。

電源的電壓和電流為非關聯參考方向時，電源釋放能量，發出功率，起電源作用。電源的電壓和電流為關聯參考方向時，電源吸收能量，吸收功率，充當負載。此時電源沒有得到充分利用。

通常，電源都是取非關聯參考方向。

1.7 受控電源

受控（電）源又稱 "非獨立" 電源。受控電壓源的激勵電壓或受控電流源的激勵電流與獨立電壓源的激勵電壓或獨立電流源的激勵電流有所不同，後者是獨立量，前者則受電路中某部分電壓或電流控制。

電壓或電流的大小和方向不是給定的時間函式，而是受電路中某個地方的電壓（或電流）控制的電源，稱受控源。

雙極電晶體的集電極電流受基極電流控制，運算放大器的輸出電壓受輸入電壓控制，所以這類器件的電路模型中要用到受控源。

受控電壓源或受控電流源視控制量是電壓或電流可分為電壓控制電壓源（VCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電壓源（CCVS）和電流控制電流源（CCCS）。這 4 種受控源的圖形符號如下圖所示。

此處只是畫得很近，但實際在電路里控制量和受控量可以離得很遠。

控制量

受控量

控制端子

受控端子

上圖中把受控源表示為具有 4 個端子的電路模型，其中受控電壓源或受控電流源具有一對端子，另一對控制端子則或為開路，或為短路，分別對應於控制量是開路電壓或短路電流。這樣處理有時會帶來方便。所以可以把受控源看作是一種四端元件，但在一般情況下，不一定要在圖中專門標出控制量所在處的端子。

VCVS — Voltage Controlled Voltage Source

VCCS — Voltage Controlled Current Source

CCVS — Current Controlled Voltage Source

CCCS — Current Controlled Current Source

為了與獨立電源相區別，用菱形符號表示其電源部分。圖中 \(u_{1}\)、和 \(i_{1}\) 分別表示控制電壓和控制電流，μ、r、g 和 β 分別是有關的控制係數，其中 μ 和 β 是量綱一的量，r 和 g 分別具有電阻和電導的量綱。這些係數為常數時，被控制量和控制量成正比，這種受控源稱為線性受控源。

受控源的輸入即控制部分，輸出即受控部分。

μ：電壓放大倍數。

g：轉移電導。

r：轉移電阻。

β：電流放大倍數。

受控源：受控電壓源，受控電流源。

受控電壓源：受控量是電壓。

受控電流源：受控量是電流。

獨立電源是電路中的 "輸入"，它表示外界對電路的作用，電路中電壓或電流是由於獨立電源起的 "激勵" 作用產生的。受控源則不同，它是用來反映電路中某處的電壓或電流能控制另一處的電壓或電流的現象，或表示一處的電路變數與另一處電路變數之間的一種耦合關係。在求解具有受控源的電路時，可以把受控電壓（電流）源作為電壓（電流）源處理，但必須注意其激勵電壓（電流）是取決於控制量的。

獨立源在電路中起 "激勵" 作用，在電路中產生電壓、電流，而受控源是反映電路中某處的電壓或電流對另一處的電壓或電流的控制關係，在電路中不能作為 "激勵"。

1.8 基爾霍夫定律

集總電路由集總元件相互連線而成。基爾霍夫定律是集總電路的基本定律。

把組成電路的每一個二端元件稱為一條支路，把支路的連線點稱為結點。

一個二端元件即一個支路，有多少個二端元件就有多少個支路。多個支路構成一個閉合路徑則為一個迴路。

路徑：兩結點之間的一條通路。由一條或多條支路構成。

迴路是由支路構成的閉合路徑。

迴路只考慮個數，不必考慮方向。

網孔：對平面電路，其內部不含有任何支路的迴路稱為網孔。

如果將電路中各個支路的電流和支路的電壓（簡稱支路電流與支路電壓）作為變數來看，這些變數受到兩類約束。一類是元件的特性造成的約束。例如，線性電阻元件的電壓與電流必須滿足 u=Ri 的關係。這種關係稱為元件的組成關係或電壓電流關係（VCR - Voltage Current Relation），即 VCR 構成了變數的元件約束。另一類約束是由於元件的相互連線給支路電流之間或支路電壓之間帶來的約束關係，有時稱為 "幾何" 約束或 "拓撲" 約束，這類約束由基爾霍夫定律來體現。

元件約束是元件自身的電流電壓約束，基爾霍夫定律是元件之間連線引起的支路電流和支路電壓之間的約束。

基爾霍夫定律與元件特性一起構成了電路分析的基礎。

基爾霍夫定律包括電流定律和電壓定律。

基爾霍夫電流定律（KCL - Kirchhoff's Current Law）指出："在集總電路中，任何時刻，對任一結點，所有流出結點的支路電流的代數和恆等於零"。

此處，電流的 "代數和" 是根據電流是流出結點還是流入結點判斷的。若流出結點的電流前面取 "+" 號，則流入結點的電流前面取 "-" 號；電流是流出結點還是流入結點，均根據電流的參考方向判斷。

所以對任一結點有 KCL 兩種定義方式：

（1）第一種定義方式：

\[\sum i=0 \]

上式取和是對連線於該結點的所有支路電流進行的。

（2）第二種定義方式：

\[\sum i_{入}=\sum i_{出} \]

方法一列出來的式子的 i 前面有正有負，方法二列出來的式子的 i 前面全是正號。

在代入 i 的具體值時由於 i 是代數量又會引入正負號。

因此，KCL 也可理解為，任何時刻，流出任一結點的支路電流等於流入該結點的支路電流。

KCL 通常用於結點，但對包圍幾個結點的閉合面也是適用的。

透過一個閉合面的支路電流的代數和總是等於零；或者說，流出閉合面的電流等於流入同一閉合面的電流。這稱為電流連續性。KCL 是電荷守恆和電流連續性原理在電路中任意結點處的反映。

KCL 是對結點處支路電流加的約束，與支路上接的是什麼元件無關，與電路是線性還是非線性無關。

對於下圖，應用基爾霍夫定律時，有多少個元件就有多少個支路，所以這裡有 5 條支路。另一種定義支路的方法是電路中透過同一電流的分支，即多個元件若電流一樣則為同一支路。這樣定義的話這裡有 3 條支路。這兩種定義分別用在不同的地方。

該圖有迴路 3 個，網孔 2 個。

對應兩種支路的定義方法，結點也有兩種定義方法。對應於第一種支路定義，可以定義元件的連線點為結點，於是這張圖中的最上面和最下面兩條線分別視為一個結點，兩個電壓源和電阻之間各自有一個結點，共 4 個結點。對應於第二種支路定義，可以定義結點為三條支路的連線點。

基爾霍夫電壓定律（KVL - Kirchhoff's Voltage Law） 指出："在集總電路中，任何時刻，沿任一回路，所有支路電壓的代數和恆等於零"。

定義 KVL 的兩種方法：

（1）第一種方法：

\[\sum u=0 \]

（2）第二種方法：

\[\sum u_{降}=\sum u_{升} \]

上式取和時，需要任意指定一個迴路的繞行方向，凡支路電壓的參考方向與迴路的繞行方向一致者，該電壓前面取 "+" 號，支路電壓參考方向與迴路繞行方向相反者，前面取 "-" 號。

不管哪種方法，第一步都是想象出一個迴路，並指明迴路的方向。第一種方法中，把迴路方向假想為電流方向，若電壓的參考方向和這個方向為參考方向，則取正號，為非關聯參考方向則取負號。

方法一列出來的式子的 u 前面有正有負，方法二列出來的式子的 u 前面全是正號，在代入 u 的具體值時由於 u 是代數量又會引入正負號。

KVL 是對迴路中的支路電壓加的約束，與迴路各支路上接的是什麼元件無關，與電路是線性還是非線性無關。KVL 方程是按電壓參考方向列寫，與電壓實際方向無關。

KVL 和 KCL 的方法一對應。KVL 和 KCL 的方法二對應。

KVL 可適用於任一假想回路，尤其是迴路本身斷開時將其假想為閉合。

KVL 的實質反映了電路遵守能量守恆定律。KVL 是電壓與路徑無關這一性質的反映。實質上，也是能量守恆和轉換定律的反映。

KCL 在支路電流之間施加線性約束關係；KVL 則對支路電壓施加線性約束關係。這兩個定律僅與元件的相互連線有關，而與元件的性質無關。不論元件是線性的還是非線性的，時變的還是時不變的，KCL 和 KVL 總是成立的。KCL 和 KVL 是集總電路的兩個公設。

對一個電路應用 KCL 和 KVL 時，應對各結點和支路編號，並指定有關回路的繞行方向，同時指定各支路電流和支路電壓的參考方向，一般兩者取關聯參考方向。

例題：

假想 a 點和 b 點之間有電壓，由圖可以看出 b 到 a 一直是降壓，故 b 點電壓高於 a 點，設電壓為 \(U_{ba}\)，則有：\(U_{ba}=U_{1}+U_{2}+U_{s}\)。