遞迴程式的漸近分析(以分治為例）

分治演算法的一般形式：將規模為n的問題按照每次分為k個規模為(n / m)的子問題求解，合併成本為f(n)：

約定：

• log(a, b)表示以a為底求b的對數
• 以下分析沒有嚴格區分是否是否算上最後一行

一般地，有：

• T(n) = O(1) n = 1

• T(n) = k * T(n / m) +　f(n) n > 1

部分1：只看k * T(n / m)

• 可以發現會巢狀log(m, n)次
• 即有計算次數：t = k ^ log(m, n)
• 因為對於一個演算法，k一般為常數，我們希望這個公式更明顯地表徵n
• 於是有：t = n ^ log(m, k)
• 從中可以看出部分1主要取決於分割的效率

• 即m（n / m表示子問題規模）與k（子問題的數量）的關係

  • m < k，表示劃分子問題時有冗餘
  • m = k，可以表示分割處理可以剛好對問題無重無漏的劃分
  • m > k，即問題被分成了m份，我們只去處理其中的k份

部分2：對於f(n)，從一個直觀角度考慮：

• 想象問題的處理過程為一顆樹
• 設最初的問題為樹根（第0層）
• 對其分治後有k個子問題，即有k棵子樹（每棵子樹的規模為n / m）
• 遞迴定義子樹
• 現在我們有一棵樹，它代表了整個處理過程（在漸近意義下，不使一般性，設其為一棵滿k叉樹）
• 我們一層一層看
• 對於第i層，共有k ^ i個節點，單個節點的規模為n / m ^ i
• 於是，每一層的計算成本是k ^ i * f(n / m ^ i)
• 按行加和可得整體成本

彙總：

• 部分1就是整個遞迴完全展開中與f(n)無關的部分，是按分治樹中每個節點計算成本為常數來計算，可以理解為樹的大小
• 部分2就是整個遞迴完全展開中與f(n)有關的部分，分治樹中只在每一層節點有相同的權值
• 可以看出來，f(n)很重要，只有當它與規模無關(O(1))時才能不增加演算法的複雜性

例子：

• 二分查詢：

  • 因為二分查詢總是將解均分為兩半並丟棄一半，即其分治樹退化為線性表
  • 有m = 2, k = 1
  • 而且沒有合併需求，視f(n)為O(1)
  • 於是有：
  • 二分查詢的複雜度為：O(log n)
  • 注意：當k = 1時，分析1所示的部分已經失效了，需要規定f(n)至少為O(1)(即f(n)總是存在）來至少表示樹的大小

• 並歸排序

  • m = k = 2
  • f(n) 為O(n)
  • 考察任一層i的成本
  • 單個節點的成本為f(n / m ^ i) = O(n / m ^ i)
  • 共有k ^ i個節點
  • 每一層的總合併成本總是O(n / 2 ^ i) * O(2 ^ i) = O(n)
  • 共有log(2, n) - 1層需要合併
  • 漸進地有O(n * log(n))