1 問題

2 解決思路

使用遞迴樹猜想一個上界，使用歸納法證明上界也是下界。

2.1 使用遞迴樹（recursion tree）猜想結論（不嚴謹）

使用遞迴樹兩點：1⃣️逐行展開；2⃣️逐行相加；

逐行展開

本質上是分解問題，每個非葉子結點表示分解+合併問題所付出的代價，葉子結點表示解決邊界問題所付出的代價。

逐層求和

這裡要注意，除去非葉子結點，每一層的和呈現出等比數列性質，計算整個代價$T(n)$本質上就是分解（合併）問題付出的代價+解決遞迴邊界付出的代價。

Case1:

分解問題的代價：


解決遞迴邊界的代價：
$\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
取多項式最高次項，因此$T(n)=O(n^{lo{g}_{b}a})$;

Case2:

分解問題的代價：

解決遞迴邊界的代價：
$\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
取多項式最高次項，因此$T(n)=O(n^{lo{g}_{b}a}lo{g}_{b}n)$;

Case3:

分解問題的代價：
根據假設容易得到



上面的不等號是漸進成立的，所以為了保證對每一個$n$都成立，對於前有限的$n$，要加上每一個都要加上一個足夠大的常數，因此有下面的式子。

解決遞迴邊界的代價：
$\Theta (n^{lo{g}_{b}a})$。
取多項式最高次項，因此$T(n)=O(f(n))$;

2.2 使用歸納法證明結論（嚴謹）

上面的遞迴樹分析只是大概得到了一個上界，下面使用數學歸納發證明上屆也是下界。

Case1:

Case2:

Case3:

3 結論

1. 先使用非嚴謹的形式分析、猜想，然後用數學歸納法證明，這個思路貫穿整個導論一書；
2. 主定理由遞迴樹推出，很多情形不符合主定理的假設，但是遞迴樹+歸納法仍然可以解決，所以整個過程最有價值的是這套分析、證明方法，而非主定理。
3. 上面在使用歸納法證明時，漸進符號的威力驚豔了我！