處理樹的遞迴問題時，遵循一個清晰的求解步驟可以幫助你更好地組織思路和編寫程式碼。以下是基本的求解步驟，它們可以應用於大多數樹的遞迴問題：
1. 理解問題並定義遞迴函式
- 理解問題的要求：首先，確保你完全理解問題的要求。明確輸出是什麼，以及如何透過樹的結構來實現。
- 定義遞迴函式的功能：確定遞迴函式的職責。這個函式應該接收哪些引數？它應該返回什麼？例如，它是計算一個值（如高度、深度），還是查詢某個節點，或者是構建一個結果列表？
2. 確定遞迴的基準情況（Base Case）
- 基準情況的定義：基準情況是遞迴停止的條件。通常對於樹的遞迴問題，基準情況是當節點為
NULL時停止遞迴，並返回一個合理的值（如 0、nullptr或false）。 - 處理葉子節點：如果問題涉及葉子節點，明確在遇到葉子節點時該怎麼處理。
3. 分解問題並遞迴處理子問題
- 遞迴呼叫左右子樹：樹的問題通常可以分解為左右子樹的子問題。針對當前節點的左右子樹遞迴呼叫函式，然後基於這些子問題的結果來解決更大的問題。
- 前序、中序、後序遞迴：決定遞迴呼叫的順序——是先處理當前節點再遞迴（前序），還是在遞迴呼叫左右子樹後才處理當前節點（後序），或者是在遞迴中間處理當前節點（中序）。
4. 合併子問題的結果
- 合併左右子樹的結果：在遞迴處理完左右子樹後，利用返回值來生成當前節點的結果。
- 返回值的計算：確定當前節點的返回值，這個值可能是左右子樹返回值的一個組合，如最大值、最小值、求和等。
5. 遞迴返回結果
- 返回最終結果：最終的結果通常由根節點的遞迴呼叫返回。確保返回值符合問題的要求。
6. 測試和驗證
- 測試邊界情況：例如空樹、只有一個節點的樹、左右高度極不平衡的樹等。
- 驗證結果的正確性：透過手動模擬和除錯工具來驗證遞迴的過程和結果。
例：求二叉樹的最大深度
我們透過求解二叉樹的最大深度來演示如何應用這些步驟。
問題描述
給定一棵二叉樹，計算它的最大深度。最大深度是從根節點到葉子節點的最長路徑上的節點數。
1. 定義遞迴函式
- 遞迴函式的功能：計算以當前節點為根的子樹的最大深度。
- 函式定義：
int maxDepth(TreeNode* root)。
2. 確定基準情況
- 基準情況：如果
root是NULL，那麼樹的深度為 0。
3. 遞迴處理子問題
- 遞迴呼叫左子樹和右子樹：最大深度等於左子樹和右子樹深度中的最大值加 1（加上當前節點）。
- 後序遍歷：先遞迴處理左右子樹，然後再處理當前節點。
4. 合併結果
- 合併左右子樹的深度：
maxDepth = max(leftDepth, rightDepth) + 1。
5. 返回結果
- 返回根節點的深度：遞迴返回根節點的深度。
程式碼實現
class Solution {
public:
int maxDepth(TreeNode* root) {
// 1. 基準情況：如果當前節點為空，返回深度為 0
if (root == nullptr) {
return 0;
}
// 2. 遞迴處理左右子樹並獲取其深度
int leftDepth = maxDepth(root->left);
int rightDepth = maxDepth(root->right);
// 3. 合併左右子樹的結果：當前節點的深度是左右子樹深度的最大值加 1
return std::max(leftDepth, rightDepth) + 1;
}
};
總結
- 明確遞迴函式的定義：清楚地定義遞迴函式的輸入、輸出以及它的功能。
- 基準情況：確保遞迴有一個合理的基準情況來停止遞迴。
- 分解與合併：將問題分解為子問題，透過遞迴解決子問題，然後合併子問題的結果。
- 返回結果：確保遞迴返回的結果符合問題的要求。
- 測試和驗證：對各種情況進行測試，確保程式碼的正確性。
透過遵循這些步驟，你可以系統性地解決大多數樹的遞迴問題。