遞迴——深度優先搜尋（DFS）——以滑雪問題為例（自頂而下）

chanxe發表於2022-03-11
遞迴

一、問題：滑雪

問題描述：小明喜歡滑雪，為了獲得速度，滑的區域必須向下傾斜，而且當你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降機來載你。小明想知道在一個區域中最長底滑坡。區域由一個二維陣列給出。陣列的每個數字代表點的高度。下面是一個例子:

1  2  3  4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

　

一個人可以從某個點滑向上下左右相鄰四個點之一，當且僅當高度減小。在上面的例子中，一條可滑行的滑坡為 24-17-16-1 . 當然 25-24-23-...-3-2-1 更長。事實上，這是最長的一條.

 

  • 輸入描述：輸入的第一行表示區域的行數 R和列數 C (1 ≤R,C≤100). 下面是 RR 行，每行有 C 個整數，代表高度 h ,0≤h≤10000.

  • 輸出描述:輸出最長區域的長度.

  • 樣例輸入

　

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

　　

  • 樣例輸出：25

二、問題分析

  • 簡述：從二維陣列中，找到一條滿足條件（一個人可以從某個點滑向上下左右相鄰四個點之一，當且僅當高度減小）節點的個數。

  • 可以採用DFS演算法，搜尋出以一個節點為起點，最遠可以抵達的地方，並記錄長度（其中節點個數）

三、問題的圖解

1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

　　

依此輸入為例（以21所在位置為起點）

下面展示三張搜尋的過程

 

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105,mod=1e9+7;
int a[N][N];
int n,m;
int tmp;
 
int dx[4]={1,0,-1,0};
int dy[4]={0,1,0,-1};
int h[N][N];//記錄座標(i,j)的答案，以（i，j）為起點的路徑最長多少 
 
int dfs(int x,int y){//以(x,y)為起點的遍歷
    int mx=0;
    if(h[x][y])return h[x][y];// 記錄為0的路徑避免重複計算 
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
        if(nx>=1&&nx<=n&&ny>=1&&ny<=m&&a[nx][ny]<a[x][y]){//遞迴出口：找不到更低的去處 
            mx=max(mx,dfs(nx,ny));//遞迴體：只要能在周圍找到能去的路徑，遞迴呼叫去找能去路徑的最大值 
        } 
    }
    return h[x][y]=mx+1;//最終求出周圍路徑最大值+1就是（x,y)為起點的最長滑坡長度 
}
// dfs： 這個演算法會盡可能深的搜尋樹的分支 ,#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105,mod=1e9+7;
int a[N][N];
int n,m;
int tmp;
 
int dx[4]={1,0,-1,0};
int dy[4]={0,1,0,-1};
int h[N][N];//記錄座標(i,j)的答案，以（i，j）為起點的路徑最長多少 
 
int dfs(int x,int y){//以(x,y)為起點的遍歷
    int mx=0;
    if(h[x][y])return h[x][y];// 記錄為0的路徑避免重複計算 
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
        if(nx>=1&&nx<=n&&ny>=1&&ny<=m&&a[nx][ny]<a[x][y]){//遞迴出口：找不到更低的去處 
            mx=max(mx,dfs(nx,ny));//遞迴體：只要能在周圍找到能去的路徑，遞迴呼叫去找能去路徑的最大值 
        } 
    }
    return h[x][y]=mx+1;//最終求出周圍路徑最大值+1就是（x,y)為起點的最長滑坡長度 
}
// dfs： 這個演算法會盡可能深的搜尋樹的分支 ,時間複雜度為O（N） 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dfs(i,j);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            ans=max(ans,h[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dfs(i,j);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            ans=max(ans,h[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

　　

五、遞迴思想總結

  • 歸納假設：一個節點為起點的最深路徑為周圍節點最深路徑加一

  • 遞迴模型

    • f(x,y)：路徑的長度

    • f（x,y）==1 當四周找不到更低的地方（無處可去）(遞迴出口)

    • f(x,y)==max(f(x-1,y),f(x+1,y),f(x,y+1),f(x,y-1))+1（遞迴體）

六、感悟：

先將大問題分解成一個基礎問題+一個小一層級問題，並用遞迴模型表示出來，利用圖文結合方法加快效率。最後落地。

 

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