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今天是LeetCode專題第55篇文章，我們一起來看看LeetCode中的第89題 Gray Code（格雷碼）。
這題的官方難度是Medium，通過率是48.9%，點贊639，反對1545。又是一道反對比點贊多得多的題目，我個人發現其實這些反對很多的題目都有一個特點，就是題意比較晦澀，出題人的意圖不太容易get到。不知道是不是老外理解能力不太行，所以都給出了這麼多的反對。
我們就來看看這道題的真面目吧。
題意
題目中說gray code，格雷碼是一連串n位二進位制表示的數字。這一串的數字有一個特點就是第一個數字是0，從0開始後面的每一個數字和前一個數字只有一個二進位制位不同。
題目會給定我們一個非負整數n，要求我們生產n位的灰色程式碼，也就是產生這些數字。並且這些數字是以10進位制儲存的。
不知道大家看明白沒有，我們來看一個樣例。
樣例
Input: 2
Output: [0,1,3,2]
在上面這個例子當中，輸入是2，表示這些數字是兩位二進位制位構成的，輸出是[0, 1, 3, 2]。我們把0，1，3，2翻譯成二進位制，0是00，1是01，3是11，2是10。排列在一起的話就是00， 01， 11， 10。我們可以發現每一個數和前一個數相差的都是一個二進位制位。
題目當中相關的描述就這麼多，但其實有很多隱藏的資訊沒有給，要我們自己猜測。比如說每一個數字只能出現一次，不然的話這個序列就是無窮無盡的。另外一個隱藏資訊是，這樣的序列應該也不是唯一的，但是題目並沒有說是否所有合法的序列都可以通過測試，還是說一定要返回字典序最小的結果。
題目比較晦澀也就算了，這些隱藏資訊沒有交代清楚，也難怪大家會費解。
題解
當然以上的問題其實也不是事，我們不確定試一次也就知道了，核心還是怎麼想出解法來。
幹想是沒有結果的，還是要先分析蒐集一些資訊。首先，題目給定的n，限制了每個數能夠使用的二進位制位的數量。n個二進位制位一共能表示的數字有$2^n$種，我們無法得知是否這麼多數字都能串聯起來。假設可行的話，那麼這個問題其實就是這$2^n$個數如何擺放的問題。
所以問題的關鍵就是要尋找這樣一個序列，根據我們之前解全排列以及各種排列的方法，可以聯想得到，這大概率是一個搜尋問題。
順著搜尋的思路繼續往下，剩下的事情就容易了，我們的起始搜尋點是0。題目中要求了每兩個相鄰的數的二進位制位只相差一個，那麼我們可以遍歷這些二進位制位，尋找0的後繼節點。同樣對於每一個後繼節點來說，我們都可以用同樣的方法尋找它的後繼們。再加上gray code不能包含重複的元素，我們可以在搜尋的時候加上剪枝。
這一套其實是一個經典的搜尋問題的流程。
如果我們換個思路，雖然也能得到一樣的解法，但是思考的過程會不太一樣。怎麼換思路呢，其實也簡單，我們把它想象成一個圖論問題。也就是說，每一個數字都是圖中的一個節點。如果兩個數字之間滿足只相差了一個二進位制位，那麼說明它們之間有一條邊相連。整個問題就轉變成了我們從0這個點出發，找出所有連通的節點。
對於圖上的遍歷問題，方法就很固定了就是搜尋。也就是說從這個角度思考的話，更加容易想到搜尋上面了， 整個思考的鏈路會更短。這也是為什麼很多大神建模的時候喜歡從往圖上考慮的原因。
這些都想明白了再來寫程式碼真的就水到渠成了，整個核心程式碼真的不長：
class Solution:
def grayCode(self, n: int) -> List[int]:
ret = [0]
elements = {0}
def dfs(cur):
# 遍歷與cur唯一不同的二進位制位
for i in range(n):
# 針對這一維做亦或，將0變1，1變0
nxt = cur ^ (1 << i)
if nxt in elements:
continue
# 記錄答案，繼續往下遍歷
elements.add(nxt)
ret.append(nxt)
dfs(nxt)
dfs(0)
return ret
總結
單純從思路以及最後的AC程式碼來看的話，這道題難度應該是很低的，實際上也的確如此，這題的通過率接近50%，已經是Medium難度的下屆了。但是相比於做對這題而言，更加重要的是思路。以圖論的思維來抽象建模是演算法題當中一個非常常見的手段，這是比題目本身更加寶貴的東西。
如果你讀過昨天的文章的話，會發現昨天的87題，本質上也是用的一個圖論建模的方法。但是從表現形式上來說，這兩題真的可以說是完全不一樣。建議大家能好好做做這兩題，體會一下其中思維和解法的閃光點。
今天的文章到這裡就結束了，如果喜歡本文的話，請來一波素質三連，給我一點支援吧（關注、轉發、點贊）。
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