二分搜尋樹系列之「深度優先-層序遍歷 (ergodic) 」

一.遍歷的分類

二分搜尋樹遍歷分為兩大類，深度優先遍歷和層序遍歷。
深度優先遍歷分為三種：先序遍歷（preorder tree walk）、中序遍歷（inorder tree walk）、後序遍歷（postorder tree walk），分別為：
1、前序遍歷：先訪問當前節點，再依次遞迴訪問左右子樹。
2、中序遍歷：先遞迴訪問左子樹，再訪問自身，再遞迴訪問右子樹。
3、後序遍歷：先遞迴訪問左右子樹，再訪問自身節點。

二. 深度優先遍歷

• 前序遍歷：先訪問當前節點，再依次遞迴訪問左右子樹。
• 中序遍歷：先遞迴訪問左子樹，再訪問自身，再遞迴訪問右子樹。
• 後序遍歷：先遞迴訪問左右子樹，再訪問自身節點。
  為了更好理解深度優先遍歷我們使用下圖模型：

1. 前序遍歷：

我們對二分搜尋樹中所有節點都分別標記3個點：

開始遍歷：
前序遍歷是對每一個節點第一次訪問的時候進行遍歷：
28

遍歷：28， 16

遍歷：28， 16， 13

遍歷：28， 16， 13

遍歷：28， 16， 13

遍歷：28， 16， 13， 22

遍歷：28， 16， 13， 22

遍歷：28， 16， 13， 22

遍歷：28， 16， 13， 22

依次類推 ……

最後完成整個前序遍歷：

遍歷：28， 16， 13， 22， 30， 29， 42

**程式碼實現(使用遞迴，c++實現)
在public中定義：

//前序遍歷,傳入節點，列印節點相應資訊
void preOrder() {
    return preOrder(root);
}

在private中定義：

//前序遍歷，以node為根節點的二分搜尋樹進行前序遍歷，列印節點相應資訊
void preOrder(Node *node) {
    if (node != NULL) {
        //不一定用列印，還可以對node->key和node->value進行操作
  cout << node->key << endl;

  preOrder(node->left);

  preOrder(node->right);
  }
}

2. 中序遍歷

按照前序遍歷的模型和順序，很容易看出中序遍歷就是在中間點的時候進行遍歷：（過程省略）
遍歷：13， 16， 22， 28， 29， 30， 42
如下圖：（可以看出由中序遍歷可以看出遍歷結果是有序的）

**程式碼實現(使用遞迴，c++實現)
在public中定義：

//中序遍歷，以節點為node的節點為根節點
void inOrder() {
    return inOrder(root);
}

在private中定義：

//中序遍歷，以node為根節點的二分搜尋樹進行前序遍歷，列印節點相應資訊
void inOrder(Node *node) {
    if (node != NULL) {
        inOrder(node->left);

  cout << node->key << endl;

      inOrder(node->right);
  }
}

3. 後序遍歷

一樣的邏輯，後序遍歷就是在第三個點時進行遍歷：（過程省略）
遍歷：13， 22， 16， 29， 42， 30， 28
如下圖：

後序遍歷有個重要的應用：二叉樹的銷燬（從子節點依次向上刪除）

**程式碼實現(使用遞迴，c++實現)
在public中定義：

//後序遍歷，以node為根節點的二分搜尋樹進行前序遍歷，列印節點相應資訊
void postOrder() {
    return postOrder(root);
}

在private中定義：

//後序遍歷，以node為根節點的二分搜尋樹進行前序遍歷，列印節點相應資訊
void postOrder(Node *node) {
    if (node != NULL) {
        postOrder(node->left);

        postOrder(node->right);

  cout << node->key << endl;
  }
}

下面我們來使用後序遍歷將二分搜尋樹銷燬：

//解構函式的實現,其本質是後序遍歷
    void distroy(Node *node) {
        if (node != NULL) {
            distroy(node->left);
            distroy(node->right);
            delete node;
            count--;
        }
    }

三. 廣度優先遍歷

1.介紹

二分搜尋樹的廣度優先（層序遍歷），即逐層進行遍歷，即將每層的節點存在佇列當中，然後進行出隊（取出節點）和入隊（存入下一層的節點）的操作，以此達到遍歷的目的。
透過引入一個佇列來支撐層序遍歷：

• 如果根節點為空，無可遍歷；

• 如果根節點不為空：

  • 先將根節點入隊；

  • 只要佇列不為空：

    • 出隊隊首節點，並遍歷；
    • 如果隊首節點有左孩子，將左孩子入隊；
    • 如果隊首節點有右孩子，將右孩子入隊；

2.具體資料

以下圖為例：

1. 我們使用一個佇列——front
   將28放入佇列中

出：空
入：28
佇列：28
遍歷情況：空

出：28
入：16， 30
佇列：16， 30
遍歷情況：28

出：16
入：13 ，22
佇列：30， 13， 22
遍歷情況：28， 16

出：30
入：29 ，42
佇列： 13， 22， 29， 42
遍歷情況：28， 16， 30

出：13
入：空
佇列： 22， 29， 42
遍歷情況：28， 16， 30， 13

出：22
入：空
佇列： 29， 42
遍歷情況：28， 16， 30， 13， 22

出：29
入：空
佇列： 42
遍歷情況：28， 16， 30， 13， 22， 29

出：42
入：空
佇列： 空
遍歷情況：28， 16， 30， 13， 22， 29， 42

遍歷完成：
遍歷情況：28， 16， 30， 13， 22， 29， 42

3.程式碼實現(使用遞迴，c++實現)

//層序遍歷
void levelOrder(){
    queue<Node*> q;   //佇列d
    q.push(root);       //將root入隊
  //佇列不為空的情況
  while(!q.empty()){
        Node *node  = q.front();    //將佇列第一個元素取出
        q.pop();             //是刪除棧頂元素

        cout<<node->key<<endl;
       if(node->left)
            q.push(node->left);
       if(node->right)
            q.push(node->right);
  }
}

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