P4198 樓房重建
求從 \((0,0)\) 往上看能看到多少棟沒被擋住的樓房，帶修改。
對於帶修改的題目，我們需要快速維護，就需要用到資料結構。這時候透過直覺可以想到，問題是可以分為子問題然後合併得到的，所以我們考慮線段樹。
觀察到能被看到的樓房，從左到右斜率遞增，即我們需要維護斜率遞增的序列。
考慮子區間需要維護的資訊，發現該區間對其他區間的影響只跟其斜率最大值有關，所以一個是維護區間斜率最大值 \(\max\)。然後再維護一個區間答案 \(cnt\)，表示從該區間的左端點能看到的樓房數量。
怎麼合併？記 \(u\) 為合併後的區間，\(ls\) 和 \(rs\) 為左右區間。首先顯然左區間 \(ls.cnt\) 一定能貢獻到 \(u.cnt\) 中；右區間的答案顯然不能馬上得出，我們在把右區間細化成更小的問題，分類討論一下。記右區間的左區間為 \(rsl\)，右區間的右區間為 \(rsr\)。
如果 \(rsl.max<ls.max\)，那麼 \(rsl\) 所有點都看不到，捨去，然後繼續考慮 \(rsr\)。
否則 \(rsr\) 的貢獻只和 \(rsl.max\) 有關，可以發現貢獻即為 \(rs.cnt-rsl.cnt\)，然後繼續考慮 \(rsl\)。
這部分思考變成程式碼也很簡單，由於每次只會遞迴一個區間，複雜度單次是 \(O(\log n)\)。
所以是 update 的同時套一個 \(O(\log n)\) 的合併區間，總複雜度是 \(O(n\log^2 n)\)。