MCMC 方法影像重建理論

二維 MCMC 方法理論

MCMC 法重建影像的主要思路是利用馬爾可夫鏈思想獲得轉移機率，再利用轉移機率進行賦值重建，首先，將二維圖形看作一個矩陣，將頁岩岩心影像進行二值化，每個點只有0和1兩種狀態：

• 小於閾值部分代表岩石骨架
• 大於閾值部分代表岩石孔隙

\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{aligned} 0,\ \ f(x,y)<閾值\\ 1,\ \ f(x,y)\geqslant閾值 \end{aligned} \right.

引入鄰域的思想，認為模型中任何點的狀態只取決於相鄰少數點的狀態。具體地說，就是對於一個特定的點s，用\Lambda_{-s}表示除s外的所有點。則存在一個s點的領域N_s，有

\displaystyle P(x_s|x(\Lambda_{-s}))\approx P(x_s|x(N_s))

對於2點鄰域系統，定義影響的某點狀態的鄰域為該點左邊1個點；對於5點鄰域系統，定義影響的某點狀態的鄰域為該點上面的3個點和左邊的1個點；對於6點鄰域系統，定義影響的某點狀態的鄰域為該點上面的3個點和左邊的2個點。

\displaystyle N_2(i,j)=\left[i,j+1 \right]\\{}\\ N_5(i,j)=\left[\begin{aligned}(i-1,j-1)(i-1,j)\\(i,j-1)(i-1,j+1)\end{aligned}\right]\\{}\\ N_6(i,j+1)=\left[\begin{aligned}(i-1,j-1)(i-1,j)(i-1,j+1)\\(i,j-1)(i,j)\end{aligned}\right]

獲得條件機率後，就可以利用其為畫素賦值，進行影像的重建。重建的步驟為：
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利用孔隙度確定(1,1)點的狀態，然後利用2點鄰域模版的條件機率，從左向右依次為(1,j)點賦值。
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利用孔隙度確定(1,1)點的狀態，然後利用2點鄰域模版的條件機率，從上往下依次為(i,1)點賦值。
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利用(1,1)、(1,2)和(2,1)點的狀態，採用4點鄰域模版的條件機率，對(2,2)賦值；同理，從上往下依次為點(i,j)賦值，其中i>2。
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採用6點鄰域模版，從第2行開始從左向右依次為點(2,j)賦值，到第2行結尾時，採用同樣方法對第3行(3,j)賦值，依此類推，直至對最後一行賦值，影像重建結束。
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對比重構影像與原圖的孔隙度，如果達到要求就終止計算，輸出最終結果；如果不符合孔隙度要求，則調整條件機率的加權因子，再次開始重構過程，直到符合要求為止。

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