組合數取模的幾個方法
求：
\[C^{m}_{n} \bmod P
\]
1.楊輝三角法
\[C^{m}_{n} = C^{m - 1}_{n - 1} + C^{ m }_{n - 1}
\]
時間複雜度有點小高
2.若 \(n\) 比較大，但 \(P\) 比較小
使用 \(EXlucas\) 大法.
具體講解點這裡：戳我
3.若 \(n\) 比較小， \(P\) 炒幾大
我們考慮分解組合數：
原式為：
\[\frac{n!}{\left(n - m\right)! \times m! }
\]
化簡為：
\[\frac{\prod_{i = m + 1}^{n}i}{\prod^{n - m}_{i=1}i}
\]
考慮對每一個 \(i\) 分解質因數，但由於全分解的時間複雜度忒高，於是先將其最小的分出來。
開一個長度為 \(n\) 的 \(cnt\) 陣列 \(cnt_i\) 表示 \(i\) 的 \(cnt_i\) 次冪。
從大往小裡列舉，只要其不是質數，就考慮如下轉化：
cnt[i / num[i]] += cnt[i];
cnt[num[i]] += cnt[i];
易證其正確性。
下面一道例題： ( \(Catlan\) )
\(HNOI2009\) 有趣的數列
我們稱一個長度為 \(2n\) 的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件：
-
它是從 \(1 \sim 2n\) 共 \(2n\) 個整數的一個排列 \(\{a_n\}_{n=1}^{2n}\)；
-
所有的奇數項滿足 \(a_1<a_3< \dots < a_{2n-1}\)，所有的偶數項滿足 \(a_2<a_4< \dots <a_{2n}\)；
-
任意相鄰的兩項 \(a_{2i-1}\) 與 \(a_{2i}\) 滿足：\(a_{2i-1}<a_{2i}\)。
對於給定的 \(n\)，請求出有多少個不同的長度為 \(2n\) 的有趣的數列。
因為最後的答案可能很大，所以只要求輸出答案對 \(p\) 取模。
輸入格式
一行兩個正整數 \(n,p\)
輸出格式
輸出一行一個整數表示答案。
樣例輸入
3 10
樣例輸出
5
資料範圍
對於 \(50\%\) 的資料，\(1\le n \le 1000\)；
對於 \(100\%\) 的資料，\(1\le n \le 10^6\)，\(1\le p \le 10^9\)。
\(code\)
簡化題意，求：
\[\frac{C^{n}_{2n}}{n + 1}
\]
易推出是卡特蘭數，程式碼如下：
114514
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define int long long
const int N = 1000010 ;
int n , mod ;
int num , prime[ 2 * N ] ;
int Next[ N << 1 ] ;
int cnt[ N << 1 ] ;
inline int read( )
{
int x = 0 , f = 1 ;
char c = getchar( ) ;
while ( c > '9' || c < '0' )
{
if( c == '-' )
{
f = -f ;
}
c = getchar( ) ;
}
while ( c >= '0' && c <= '9' )
{
x = x * 10 + c - '0' ;
c = getchar( ) ;
}
return x * f ;
}
inline int Regular_Quick_Pow( int a , int b )
{
int ans = 1 ;
while ( b > 0 )
{
if ( b & 1 ) ans = ( ans * a ) % mod ;
b >>= 1 ;
a = ( a * a ) % mod ;
}
return ans ;
}
signed main( )
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen( "1.in" , "r" , stdin ) ;
freopen( "1.out" , "w" , stdout ) ;
#endif
cin >> n >> mod ;
for ( int i = 2 ; i <= 2 * n ; ++ i )
{
if ( !Next[ i ] )
{
Next[ i ] = i ;
prime[ ++ num ] = i ;
}
for ( int j = 1 ; j <= num && prime[ j ] * i <= 2 * n ; ++ j )
{
Next[ prime[ j ] * i ] = min( prime[ j ] , Next[ i ] ) ;
}
}
Next[ 1 ] = 1 ;
for ( int i = n + 2 ; i <= 2 * n ; ++ i )
{
cnt[ i ] = 1 ;
}
for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i )
{
cnt[ i ] = -1 ;
}
for ( int i = 2 * n ; i >= 1 ; -- i )
{
if ( Next[ i ] != i )
{
cnt[ Next[ i ] ] += cnt[ i ] ;
cnt[ i / Next[ i ] ] += cnt[ i ] ;
cnt[ i ] = 0 ;
}
}
int ans = 1 ;
for ( int i = 1 ; i <= 2 * n ; ++ i )
{
ans = ( ans * Regular_Quick_Pow( i , cnt[ i ] ) ) % mod ;
}
cout << ans ;
}