一、組合思想 2 : 數學歸納法

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數學歸納法 描述 一個與自然數相關的命題 $P(n)$ ,

根據不同的問題 , 設定 $n$ 最小的值 , 一般情況下從 $0$ 開始 ,

1. 證明時分為以下兩個步驟 :

( 1 ) 歸納基礎 : 先證明 歸納基礎 , 如證明 $P(0)$ 為真 ;

( 2 ) 歸納步驟 : 根據 數學歸納法的種類 , 進行不同方式的證明 , 這裡有 第一數學歸納法 和 第二數學歸納法 兩種歸納法 ;

2. 數學歸納法 :

( 1 ) 第一數學歸納法 : 從 $P(n)$ 推導 $P(n+1)$

$P(0)$ 為真

假設 $P(n)$ 為真 , 證明 $P(n+1)$ 也為真

( 2 ) 第二數學歸納法 : 所有小於 $n$ 的 $P(0),P(1),\cdots ,P(n-1)$ 都為真 , 推導 $P(n)$ 為真 ;

$P(0)$ 為真

假設所有小於 $n$ 的自然數 $k$ , 命題 $P(k)$ 都為真 , 即 $P(0),P(1),\cdots ,P(n-1)$ 都為真 , 推導 $P(n)$ 為真 ;

符號化表示為 : $P(0)\wedge P(1)\wedge \cdots \wedge P(n-1)\to P(n)$

二、數學歸納法推廣

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數學歸納法可以推廣 , 組合中可能遇到出現 兩個自然數的問題 , 因此 對應的命題是兩個自然數 $P(m,n)$ , 之前的命題都是一個自然數 $P(n)$ ;

1. 證明兩個自然數的命題 $P(m,n)$

針對該 $m,n$ 兩個自然數 ,

任意給定其中一個自然數 $m$ , 即 $m$ 可以是任意大小的自然數 , 對 $n$ 歸納 ;

或

任意給定其中一個自然數 $n$ , 即 $n$ 可以是任意大小的自然數 , 對 $m$ 歸納 ;

任意先指定一個自然數的值 , 對另一個自然數進行歸納 ;

一個自然數的歸納 , 就採用傳統的數學歸納法進行歸納證明 ;

2. 多重歸納 :

( 1 ) 歸納基礎 : 設定 $P(m,n)$ 其中某個自然數為 $0$ , 另一個自然數是任意大小 ;

$P(0,n^{\prime })$ 是歸納基礎 , $m=0$ , $n^{\prime }$ 是任意大小 ;

$P(m^{\prime },0)$ 是歸納基礎 , $n=0$ , $m^{\prime }$ 是任意大小 ;

先證明上述歸納基礎為真 ;

( 2 ) 歸納步驟 :

假設 $P(m-1,n)$ , $P(m,n-1)$ 為真 , 證明 $P(m,n)$ 為真 ;

三、多重歸納思想

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平面座標系 :

如果 $x=0$ 時引數為真 , 即 $y$ 軸上的 點代表的 引數都為真 ;

如果 $y=0$ 時引數為真 , 即 $x$ 軸上的 點代表的 引數都為真 ;

上述兩個座標軸上的點相當於歸納基礎 ;

有了歸納基礎後 , 利用座標軸上的點 , 推導座標系中間部分的點代表的引數為真 ;

有兩個點為真 , 證明比這兩個點多 $1$ 的點為真 , 證明出來 ,

假設 $P(m-1,n)$ , $P(m,n-1)$ 證明 $P(m,n)$ 為真

證明 $P(1,1)$ 為真 :

$P(1-1,1),P(1,1-1)$ 為真 , 即 $P(0,1),P(1,0)$ 為真 ,

可以推匯出 $P(1,1)$ 為真 ;

此時在 $(0,2),(1,1),(2,0)$ 斜線上的點都為真 , 即上圖紅框中的點 ;

根據上面斜線上的點可以證明 下一跳斜線上 的點 $(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$ 斜線上的點為真 ;

此時證明完畢後 , 上圖紅框中的點都為真 ;

最終證明所有的斜線 ( 左上角 -> 右下角 ) 上的點都為真 ;