組合計數思維題

我們先研究一道數學題，請說出下面的方程有多少組正整數解：\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8\) 。
你可能已經想到了，這個問題其實等同於將 \(8\) 個蘋果分成 \(4\) 組且每組至少 \(1\) 個蘋果有多少種方案，因此該問題還可以進一步等價於在分隔 \(8\) 個蘋果的 \(7\)個 空隙之間插入 \(3\) 個隔板將蘋果分成 \(4\) 組有多少種方案，也就是從 \(7\) 個空隙選出 \(3\) 個空隙放入隔板的組合數，所以答案是 \(C_7^3=35\)。組合數的計算公式如下所示：\(C_M^N = \frac{M!}{N!(M-N)!}\) 。