20241029每日一題洛谷P1024

普及-每日一題洛谷P1024

有形如：\(a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\) 這樣的一個一元三次方程。給出該方程中各項的係數（\(a,b,c,d\) 均為實數），並約定該方程存在三個不同實根（根的範圍在 \(-100\) 至 \(100\) 之間），且根與根之差的絕對值 \(\ge 1\)。要求由小到大依次在同一行輸出這三個實根(根與根之間留有空格)，並精確到小數點後 \(2\) 位。

提示：記方程 \(f(x) = 0\)，若存在 \(2\) 個數 \(x_1\) 和 \(x_2\)，且 \(x_1 < x_2\)，\(f(x_1) \times f(x_2) < 0\)，則在 \((x_1, x_2)\) 之間一定有一個根。

輸入

一行，\(4\) 個實數 \(a, b, c, d\)。

輸出

一行，\(3\) 個實根，從小到大輸出，並精確到小數點後 \(2\) 位。

樣例輸入

1 -5 -4 20

樣例輸出

-2.00 2.00 5.00

經典的二分求值問題，這道題題目限制了根的範圍：根與根之差的絕對值 \(\ge 1\) ，根的範圍在 \(-100\) 至 \(100\) 之間

於是，我們的大致流程就是：

• 透過\(f(x_1) \times f(x_2) < 0\)，尋找到一個區間\((x_1, x_2)\)使得其中必存在一個根

• 由於根與根之差的絕對值 \(\ge 1\) ，所以尋找區間時，可以以 \(1\) 作為一個跨度

• 再使用二分法，在含根區間內找到一個近似根

• 題目要求：精確到小數點後 \(2\) 位，這就存在兩種找到根的途徑：

  • 二分的mid代入方程中，直接可解出 0

  • 透過左邊界l和右邊界r向根無限逼近，存在一個精度限制

    透過題目可知：精度需要在小數點後兩位，所以在逼近根的時候，只需要控制左邊界和右邊界的差小於等於\(0.001\)，

    這時不妨舉例有：\(l=1.005,r=1.006，root=1.00\) 任意選取l或r作為近似根，保留兩位小數後，與根的大小几乎相同，可以認為找到了一個根

程式碼首先實現\(f(x)\)的操作：

double fx(double x) {
	return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d;
}

構建fx函式，方便之後呼叫求值

然後實現在區間內尋找根的函式find：

double find(double l, double r) {
	while (r-l>0.001)//控制近似根的誤差小於等於0.001
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		if (fx(l) * fx(mid) <= 0)
			r = mid;
		else
			l = mid;
	}
	return l;//返回l或r都可以
}

最後執行在\([-100,100]\)之間尋找含根區間：

for (int i = -100; i <= 100; i++) {
	double l = i, r = i + 1;
	double x1 = fx(l), x2 = fx(r);
	if (x1 == 0) {//判斷端點值是否恰好為根
		printf("%.2lf ", l);
		cnt++;
		continue;
	}//只用判斷左端點
	if (x1 * x2 < 0) {
		printf("%.2lf ", find(x1,x2));
		cnt++;//記錄根的個數
	}
	if (cnt == 3) return 0;//根全部解完後直接退出
}

完整AC程式碼：

double a, b, c, d;
double fx(double x) {
	return a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d;
}

double find(double l, double r) {
	while (r-l>0.001)
	{
		double mid = (l + r) / 2;
		if (fx(l) * fx(mid) < 0)
			r = mid;
		else
			l = mid;
	}
	return l;
}

int main()
{
	scanf("%lf %lf %lf %lf", &a, &b, &c, &d);
	int cnt = 0;
	for (int i = -100; i <= 100; i++) {
		double l = i, r = i + 1;
		double x1 = fx(l), x2 = fx(r);
		if (x1 == 0) {
			printf("%.2lf ", l);
			cnt++;
			continue;
		}
		if (x1 * x2 <= 0) {
			printf("%.2lf ", find(x1,x2));
			cnt++;
		}
		if (cnt == 3) return 0;
	}
	return 0;
}