洛谷P1072 Hankson的趣味題

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solution:

很妙的數學推導題
易知，一般的，令$k=\gcd (a,b)$，則$\gcd (a/k,b/k)=1$。
那麼將$\gcd (x,a_0)=a_1$轉化為$\gcd (x/a_1,a_0/a_1)=1$ ①
又由$b_1=\mathrm{lcm}(x,b_0)=x\ast b_0/\gcd (x,b_0)$知，
$\gcd (x,b_0)=x\ast b_0/b_1$。令$k_1=\gcd (x,b_0)$，
則$\gcd (x/k_1,b_0/k_1)=1$
化簡得$\gcd (b_1/b_0,b_1/x)=1$ ---------------------------------②
由①②式的限制，可以設計出演算法：
列舉$b_1$的因數$i$，判斷$i$是否是$a_1$的倍數，並且是否滿足①②式子。
若滿足則$i$是符合題目要求的數之一。
時間複雜度O($\sqrt{b_1}$)。

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long LL;
int T;
LL a_0, a_1, b_0, b_1;

LL GCD(LL A, LL B) {
	if(!B) return A;
	return GCD(B, A % B);
}
int main() {
	#ifdef test
		freopen("test.txt", "r", stdin);
	#endif
	cin >> T;
	int ans = 0;
	while(T--) {
		ans = 0;
		cin >> a_0 >> a_1 >> b_0 >> b_1;
		for(int i = 1; i * i <= b_1; i++) { // 因子i
			if(b_1 % i) continue;
			if(i % a_1 == 0 && GCD(i / a_1, a_0 / a_1) == 1 && GCD(b_1 / b_0, b_1 / i) == 1)
				ans++;
			int h = b_1 / i; // 大於根號N的因子。
			if(h == i) continue; // 特判當i等於h的情況，此時兩個因子重複不能計入答案。
			if(h % a_1 == 0 && GCD(h / a_1, a_0 / a_1) == 1 && GCD(b_1 / b_0, b_1 / h) == 1)
				ans++;
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}