三個水桶等分8升水的問題 -《演算法的樂趣》

智力題目

有三個容積分別為3升、5升、8升的水桶，其中容積為8升的水桶中裝滿了水，容積為3升和容積為5升的水桶都是空的。三個水桶都沒有刻度，現在需要將大水桶中的8升水等分成兩份，每份都是4升水，附加條件是隻能這三個水桶，不能借助其他輔助容器。

“恩，是的，這是一個很經典的問題。”

“然而，我們並不能想全，不信請繼續往下看。”

答案

”廢話不多說，直接看方法吧。“

第一種（7步）

1. 將8L的水桶中的水，倒滿5L的水桶，這時：8L水桶為3L、5L水桶為5L、3L水桶為0L
2. 將5L的水桶中的水，倒滿3L的水桶，這時：8L水桶為3L、5L水桶為2L、3L水桶為3L
3. 將3L的水桶中的水，倒入8L的水桶，這時：8L水桶為6L、5L水桶為2L、3L水桶為0L
4. 將5L的水桶中的水，倒入3L的水桶，這時：8L水桶為6L、5L水桶為0L、3L水桶為2L
5. 將8L的水桶中的水，倒入5L的水桶，這時：8L水桶為1L、5L水桶為5L、3L水桶為2L
6. 將5L的水桶中的水，倒滿3L的水桶，這時：8L水桶為1L、5L水桶為4L、3L水桶為3L
7. 將3L的水桶中的水，倒入8L的水桶，這時：8L水桶為4L、5L水桶為4L、3L水桶為0L

第二種（8步）

1. 將8L的水桶中的水，倒滿3L的水桶，這時：8L水桶為5L、5L水桶為0L、3L水桶為3L
2. 將3L的水桶中的水，倒入5L的水桶，這時：8L水桶為5L、5L水桶為3L、3L水桶為0L
3. 將8L的水桶中的水，倒滿3L的水桶，這時：8L水桶為2L、5L水桶為3L、3L水桶為3L
4. 將3L的水桶中的水，倒滿5L的水桶，這時：8L水桶為2L、5L水桶為5L、3L水桶為1L
5. 將5L的水桶中的水，倒入8L的水桶，這時：8L水桶為7L、5L水桶為0L、3L水桶為1L
6. 將3L的水桶中的水，倒入5L的水桶，這時：8L水桶為7L、5L水桶為1L、3L水桶為0L
7. 將8L的水桶中的水，倒滿3L的水桶，這時：8L水桶為4L、5L水桶為1L、3L水桶為3L
8. 將3L的水桶中的水，倒入5L的水桶，這時：8L水桶為4L、5L水桶為4L、3L水桶為0L

我相信答案肯定不止兩個，到底有多少種答案？

帶著這個疑問，我們來設計一個演算法吧。

問題分析

人的思維

解決這個問題的關鍵是怎麼透過倒水湊出確定的1升水或能容納1升水的空間。

例如，當8L水桶或5L水桶或3L水桶有1L水時，都能快速倒出4L水。

計算機思維

“窮舉法”

水桶初始狀態：8L水桶裝滿水，3L和5L的水桶為空。
水桶最終狀態：3L水桶為空，5L和8L的水桶各4L水。

假設將每個狀態下三個水桶中的水的體積作為status。

從 $status = array(8,0,0) 得到 $status = array(4,4,0)。

當然還會有一些限制：

1.各個水桶的都有最大值：

0 <= status[0] <= 8;

0 <= status[1] <= 5;

0 <= status[2] <= 3;

2.當前倒水之後各個水桶的狀態，與歷史倒水之後各個水桶的狀態，不能相同。

3.當前水桶為空時，不能倒給其他水桶。

4.當前水桶為最大容積時，其他水桶不能再向這個水桶倒水。

程式程式碼（PHP）

/**
 * 三個水桶等分8升水的問題，程式碼示例(php)
 * @author 訢亮
 */

$bucket_limit = [8, 5, 3];
$bucket_value = [8, 0, 0];
$bucket = new Bucket($bucket_value, $bucket_limit, []);
$result = $bucket->getResult();

echo "一共有 ".count($result)." 種倒水方法，方法如下：<br> <pre>";
print_r($result);

class Bucket
{

    static protected $_change_bucket_path = []; //倒水的過程記錄

    protected $_bucket_values;  //每個水桶的當前容積
    protected $_bucket_limit;   //每個水桶的容積閾值
    protected $_history_status; //所有歷史水桶容積狀態的集合

    public function __construct($bucket_value = [], $bucket_limit = [], $history_status = [])
    {
        $this->_bucket_values  = $bucket_value;
        $this->_bucket_limit   = $bucket_limit;
        $this->_history_status = array_merge($history_status, [$this->_bucket_values]);

        $this->run();
    }


    public function run() {
        for ($i=0; $i<count($this->_bucket_values); $i++) {
            for ($j=$i+1; $j<count($this->_bucket_values); $j++) {
                $this->changeBucketValue($i, $j);
                $this->changeBucketValue($j, $i);
            }
        }
    }

    public function getResult() {
        return self::$_change_bucket_path;
    }


    /**
     * 倒水
     * @param int $target_idx  目標水桶（被倒水的水桶）
     * @param int $current_idx 當前水桶（倒水的水桶）
     * @return bool
     */

    protected function changeBucketValue($target_idx = 0, $current_idx = 0) {
        $value = $this->_bucket_values;
        if ($target_idx == $current_idx ||
            $this->_bucket_values[$current_idx] == 0 ||
            $this->_bucket_values[$target_idx] == $this->_bucket_limit[$target_idx]
        ) {
            return false;
        }

        if (($this->_bucket_limit[$target_idx] - $this->_bucket_values[$target_idx]) <= $this->_bucket_values[$current_idx]) {
            $water = $this->_bucket_limit[$target_idx] - $this->_bucket_values[$target_idx];
        } else {
            $water = $this->_bucket_values[$current_idx];
        }

        $value[$target_idx] += $water;
        $value[$current_idx] -= $water;

        if ($value === [4,4,0]) {
            self::$_change_bucket_path[] = array_merge($this->_history_status, [$value]);
        } else {
            if (!$this->checkBucketStatus($value)) {
                new Bucket($value, $this->_bucket_limit, $this->_history_status);
            }
        }
    }

    /**
     * 驗證當前水桶狀態是否存在過
     * @param array $current_status 當前水桶狀態
     * @return bool
     */
    protected function checkBucketStatus($current_status = []) {
        foreach ($this->_history_status as $k) {
            if ($current_status === $k) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

執行結果

一共有 16 種倒水方法，方法如下：

…

（16種方法，貼上去太長了，大家在本地嘗試下。）

小結

執行程式碼之後，一共找到了 16 種倒水的方法，最快的方法需要 7 個步驟。

“怎麼樣，是不是沒想到會有這麼多方法吧，去考考你身邊的小夥伴吧。”

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