反直覺的三門問題

趙孤鴻發表於2020-10-25

三門問題又被稱為蒙提霍爾問題，是一個很反直覺的問題，出自美國的一個電視遊戲節目。

題目非常簡單：參賽者面前有三扇門，其中一扇門後面有一輛小汽車，另外兩扇門後面都是山羊，如果參賽者選中有汽車的那扇門，就可以把汽車開回家。

當參賽者選擇了其中一扇門後，此時主持人開啟剩餘兩扇門其中的一扇，裡面是一隻山羊，那麼現在主持人給參賽者一次重新選擇的機會，那麼參賽者應不應該換門去選擇另外一扇門？

我初次看這個問題時覺得當主持人開啟一扇門後，那麼小汽車在剩餘兩個門內的概率必然都是 50%，那麼換不換門其實意義不大，因為概率都一樣，但真的是這樣嗎？

正確答案卻是非常反直覺的，如果參賽者堅持原來的選擇，那麼選中小汽車的概率為 1/3，如果換門的話，選中小汽車的概率為 2/3。

直觀分析

首先我們要明確一點，主持人是知道小汽車在哪個門後面的，這個是解題的前提，否則下面的分析毫無意義。

下面我們來分析一下：當參賽者第一次選擇時，任何一扇門有小汽車的概率都是 1/3，所以參賽者所選門後面有小汽車的概率是 1/3，參賽者未選擇的兩扇門後面有小汽車的概率為 2/3。

當主持人開啟剩餘兩扇門其中的一扇有山羊的門，那 2/3 的概率就轉移到了剩餘兩扇門中未被開啟的那扇門中，而此刻參賽者最初選擇的門仍然只有 1/3 的概率選中小汽車，所以說此時換門是最佳的選擇。

圖示法

如果上述直觀的分析過程不太好理解的話，那麼我們通過畫圖的方式，可以很直觀的看到每種選擇的概率

假設三個門分別為A，B，C，參賽者選擇了A門，如圖所示

可以很很清楚的看到

如果不換門，選中的概率為 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 + 0 + 0 = 1/3

如果換門，選中的概率為 0 + 0 + 1/3 * 1+ 1/3 * 1 = 2/3

極端假設

如果此時你還是不理解的話，我們可以做個極端的假設

假如有一萬扇門，9999 扇門背後都是羊，只有一扇門背後是小汽車。在你選擇了一扇門後，此時主持人開啟剩餘的 9999 扇門中的 9998 扇門，並且背後都是羊，那麼此時讓你重新選擇，你換不換門，我相信此時大多數人哪怕憑直覺也會覺得，換門後選中小汽車的概率更大。

排除法

還有個思路，你可以理解三個答案中只有一個是正確答案，你隨機選擇了一個，然後主持人在剩餘的兩個答案中排除掉了錯誤的一個，這個時候給你一次重新選擇的機會你確定不換嗎？

用資料說話

實踐是檢驗真理的唯一標準，我寫了個簡單的程式，對這個遊戲模擬了 100 萬次。

import random

# 模擬測試的次數
simulationCount = 1000000
# 第一次選中小汽車的次數
firstSelectedSuccessSum = 0
# 第二次重新選擇選中小汽車的次數
secondSelectedSuccessSum = 0
for num in range(simulationCount):
    # 初始化所有門
    doors = list(range(1,4))
    # 隨機生成小汽車的門位置
    carDoor = random.randint(1,3)
    # 參賽者隨機選中一個
    firstSelectedDoor = random.randint(1,3)
    # 主持人在剩下的兩個裡面隨機選擇一個
    doors.remove(firstSelectedDoor)
    presenterSelectedDoor = doors[random.randint(0,1)]
    # 主持人選擇後剩下的一個門，也就是選手第二次選擇的門
    doors.remove(presenterSelectedDoor)
    secondSelectedDoor = doors[0]
    # 因為主持人不能選擇有小汽車的門
    # 所以如果上面主持人隨機選擇的是有小汽車的門，則應該重新選擇另一個門
    if carDoor == presenterSelectedDoor:
        secondSelectedDoor = presenterSelectedDoor
    # 如果第一次選中有小汽車的門，累計計數
    if carDoor == firstSelectedDoor:
        firstSelectedSuccessSum = firstSelectedSuccessSum + 1
    # 如果第二次重新選擇選中有小汽車的門，累計計數
    elif carDoor == secondSelectedDoor:
        secondSelectedSuccessSum = secondSelectedSuccessSum + 1
# 輸出測試結果
print ('模擬測試 %s 次'%simulationCount)
print ('不換門選中小汽車的次數為 {} 次，概率為：{:.2%}'.format(firstSelectedSuccessSum, firstSelectedSuccessSum/simulationCount))
print ('換門後選中小汽車的次數為 {} 次，概率為：{:.2%}'.format(secondSelectedSuccessSum, secondSelectedSuccessSum/simulationCount))

執行結果為

模擬測試 1000000 次
不換門選中小汽車的次數為 333398 次，概率為：33.34%
換門後選中小汽車的次數為 666602 次，概率為：66.66%

結果顯而易見，和上述分析的結果一樣，堅持最初的選擇，選中小汽車概率 1/3，換門後選中小汽車概率 2/3。

如果主持人是隨機選的門呢

上面已經說過，主持人是知道小汽車在哪個門後面的，所以主持人可以保證自己開啟的一定是後面有山羊的門。

那麼肯定有人會問，如果主持人不知道小汽車在哪個門後面，隨便選了一個，並且恰好選擇了有羊的門，那麼此時參賽者換門和不換門選中小汽車的概率各有多大？

這種情況就要分兩個維度來看了

維度一：如果從主持人已經開啟了一扇有羊的門這個既定事件往後看，那麼此時換門和不換門選中小汽車的概率均為 50%。

維度二：如果從主持人開啟門之前開始往後看，那麼換門和不換門選中小汽車的概率均為 1/3，因為還有三分之一的概率是主持人開啟了有小汽車的門，在這種情況下，遊戲直接結束了。

總結

三門問題看似有點違背常理，但只要經過認真思考後，其實也不難理解。

因為最後參賽者重新選門的事件是受前面主持人開門事件所影響的，正是因為主持人是知道小汽車在哪個門後面的，所以主持人在開啟門的時候，會刻意避開有小汽車的門，也就造成了後面換門和不換門選擇小汽車的概率不均等。明白了這一點，我相信你對換門後選中小汽車的概率為 2/3 也就不會有異議了。

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