困擾數學家25年的“切蘋果”難題，被一位華人統計學博士解決了

邊策 楊淨 發自 凹非寺
量子位 報導 | 公眾號 QbitAI

請聽題：

如何將蘋果平均一分為二，還能保證它長時間的新鮮？

這是一個嚴肅的科學問題，已經困擾了人類數學家25年之久。

根據常識，就是要保證果肉暴露在外面的面積最小，也就是切片的面積最小。如果跨越到更高的維度，是否依然成立？

這就是1995年，由三位數學家提出的一個幾何學猜想。

現在，這個難題被一位華人統計學博士，解決了。

成果一經發布，就迅速引起了數學、理論電腦科學、統計學等多個領域的科學家的關注。

他們一致認為，數學大師、菲爾茲獎得主，原本猜想的提出者Jean Bourgain（讓·布林甘）一定會對這一進展感到興奮。

畢竟，在他去世前（2018年）的幾個月裡還在關心這一問題進展，但終其一生都未能解決。

困擾數學家25年的幾何問題

1984年，著名數學家讓·布林甘提出了一個猜想。

一個任意維度的凸體，用低一維的平面去平分，那麼存在一個常數c，讓凸體至少存在一個切面的面積大於c。

換句話說，如果你一刀平分“任意維度空間的西瓜”，隨便你怎麼劈，總有一個切面總大於c。

（Ps：以往的科學家用的是蘋果的例子。但準確來說不能選蘋果，因為蘋果上下是凹的。）

在3維空間中，這個結論似乎很好理解，因為無論西瓜長成什麼奇形怪狀，總不可能在每個角度都細長。

像下面這樣的長西瓜，豎直切下去，切面很小，可以你也可以水平切開平分它，這樣切面就會很大。

但在3維世界中正確的事情，到了高維空間卻不一定成立。

這個問題後來被布林甘自己證明，但數學家們並不滿足於用平面切西瓜，而是希望能找到一個更小的切面，它可以是曲面。

而這恰好是1995年Kannan、Lovász和Simonovits三人提出的KLS猜想關心的問題：用來平分的最小曲面面積是多少？

以二維空間裡的一個三角形為例。

這個最小的“曲面”是一段圓弧。用圓弧來平分一個三角形，中間的線長度最短，而最佳“平面”——直線——的效果略差。

△ 如何用最小“切面”平分三角形（來源：Quanta Magazine）

到了更高維度的空間中，二等分的最佳平面和最佳曲面差距會變大嗎？切面的面積是否和維度d有關？

這個問題已經不再是純粹的數學問題。

普林斯頓大學數學系教授Assaf Naor表示，KLS猜想在純粹的數學和理論電腦科學中都很重要。

KLS猜想的結果，直接關係到隨機行走演算法的執行時間，如機器學習模型中取樣問題。

所以最後解決這個幾何問題的學者，都並非幾何學的專家，而是來自計算機界。

用統計方法解決他

經過數學家的抽象，KLS猜想就像一個封裝著氣體的容器，找到最佳切面就是尋找容器的“瓶頸”。

想象一個啞鈴形狀的容器，裡面有一個氣體分子在隨機運動，啞鈴中間連線部分越細，分子就越難跑到另一側。

△啞鈴形的平分切面很小（來源：Yin Tat Lee論文）

現在人們想知道，在高維空間，這個凸的容器最細的地方有多細。（當然，啞鈴並非是凸的。）

2012年，Eldan透過引入一種稱為隨機定位的技術，來降低這個問題與維度上界。（到底是維度d的幾次冪。）

2015年末，華盛頓大學的Vempala和Yin Tat Lee改進了Eldan的隨機定位，以進一步將KLS因子（用於描述瓶頸是否存在）降低到維度的四次根d^1/4。

△ KLS猜想的上界不斷降低（來源：同上）

甚至，他們還將冪指數降低到幾乎為0，由於d的0次冪總是等於1，Lee和Vempala似乎證明了KLS因子是一個與維度無關的常數。

他們在arXiv上釋出了他們的論文。但是幾天後，這篇文章就被人發現了一個缺陷，他們關於d⁰的證明是錯的。

之後，二人修改了文章，把界限重新調整到d^1/4。幾年來，研究人員認為KLS猜想的探索已經到此終結了。

不過他們還在論文中，保留了d⁰證明的一些想法。這也為後來的突破埋下伏筆。

他們的論文引起了另一位統計學者Yuansi Chen的注意。

Chen當時是加州大學伯克利分校的統計學研究生，他正在研究隨機取樣方法的混合率。而隨機抽樣是許多型別統計推斷中的關鍵，例如貝葉斯統計。

Chen深入研究文學，花了數週時間試圖填補Lee和Vempala的證明中的空白，但依然沒有解決。

於是他轉變了思路，在Lee和Vempala的思想指導下，他找到了一種方法，採用遞迴來降低KLS因子上界。

經過反覆迭代，這種方法將KLS猜想問題再次拉回到d⁰的上界。

這一結果意味著，高維凸形物體不會有啞鈴那樣的結構。

該定理的結果意味著，在n維凸體中隨機行走，遍歷整個圖形的速度比我們之前預想得要快得多。

這將有助於電腦科學家對不同的隨機取樣演算法進行優先順序排序。

三個計算機相關的科學家

雖然表面看上去，這三位學者似乎跟數學沒什麼關係。

但仔細翻看他們的履歷，他們都曾跟數學結下了不小的緣分。

首先，直接與研究相關的這位統計學博士後——Yuansi Chen （陳遠思，音譯）。

今年年初，他開始在杜克大學統計科學系擔任助理教授的職位。

主要研究方向是統計機器學習、最佳化以及在神經科學中的應用，尤其對其中域適應性、穩定性、MCMC取樣演算法、卷積神經網路和計算神經科學中出現的統計問題感興趣。

2019年，他在加州大學伯克利分校統計係獲得博士學位。

其博士生導師是著名華裔統計學家、UC伯克利統計系和電子工程與電腦科學系終身教授鬱彬。

在攻讀博士之前，他還在法國Ecole Polytechnique獲得了應用數學專業的工程師文憑。

隨後，前往在蘇黎世聯邦理工學院ETH Foundations of Data Science（ETH-FDS）做博士後研究。

而啟發Yuansi Chen數學靈感的，是兩位電腦科學家。

Yin Tat Lee （李賢達，音譯）和Santosh S. Vempala。

李賢達，目前是華盛頓大學助理教授，本科畢業於香港中文大學。

2012年從港中文大學畢業後，前往麻省理工學院攻讀博士學位，隨後前往微軟研究院做博士後研究。

他的研究方向主要在演算法方面，包括凸最佳化、凸幾何、譜圖理論和線上演算法等廣泛的課題。

以往的研究裡，他曾結合連續數學和離散數學的思想，大幅提升了在電腦科學和最佳化中許多基本問題的演算法，比如線性程式設計和最大流量問題。

他曾獲得SODA最佳論文獎、NeurIPS 2018最佳論文獎、NSF職業獎。

去年他還獲得了有“諾獎風向標”之稱的斯隆獎，以及美國最大的非政府獎學金之一——帕卡德獎學金。

再來看Santosh S. Vempala，佐治亞理工學院電腦科學教授。

主要研究領域是理論電腦科學，還抽樣、學習、最佳化和資料分析的演算法工具；隨機線性代數，高維幾何。

他曾在卡內基梅隆大學攻讀博士學位，本科畢業於印度理工學院的計算機專業，曾獲NSF職業獎、斯隆獎等獎項。

在來到佐治亞理工學院之前，他曾擔任MIT應用數學系擔任教授、UC伯克利米勒研究員。

數學家：不可思議

隨著陳遠思論文一發布，迅速就引起了數學界的學者關注。

不光是因為此前的錯誤證明，還由於陳遠思這個名字在數學界十分陌生，研究人員對待這一成果十分謹慎。

但他的方法很容易被驗證。

早期研究過KLS猜想的以色列數學家BoázKlartag，就在第一時間看了論文。

我基本上立即停止了我正在做的一切事情，並檢查了這篇論文。

這篇論文是100%正確的，這一點毫無疑問。

除了一眾數學家關注之外，還引起了理論數學家、統計學等領域的注意。

哈佛大學電腦科學教授、微軟研究院前新英格蘭首席研究員Boaz Barak則發推祝賀。

並表示這是一個非常重要的突破，加速了對近似凸體體積的研究。

但點贊祝賀之餘，也有不少學者表示十分遺憾。

因為提出這一猜想的人菲爾茲獎得主布林甘已於2018年去世，如果他還在的話，一定會為這一進展感到興奮。

據QuantaMagazine報導，布林甘曾在去世前幾個月，聯絡了他的朋友、特拉維夫大學教授Vitali Milman，詢問這一猜想是否有任何進展，想在離開之前知道答案。

但Vitali Milman說，布林甘在這一問題上，花費的時間和投入的精力比任何其他問題多得多。沒想到，最後這個問題卻被統計學解決了。

參考連結：
[1]
[2] ~vempala/papers/kls_survey.pdf
[3]
[4]
[5] ~chenyua/
[6] news/604802/computer-scientists-make-kls-conjecture-breakthrough