困擾數學家近60年的搬沙發難題疑似被解決！119頁論文證明最優解，百萬網友圍觀

机器之心發表於2024-12-08

《老友記》中的羅斯終於能把沙發搬進屋了。

生活中處處充滿數學，比如在經典美劇《老友記》中，羅斯要搬家，卻在和瑞秋抬沙發上樓梯扶手時翻了車。這涉及了數學領域一個著名的未解決難題 —— 移動沙發問題（the moving sofa problem）。

^{來源：《老友記 S05E16》}

該問題是由加拿大數學家 Leo Moser 於 1966 年正式提出：在寬度為 1 的 L 形平面走廊中，能夠透過一個直角轉彎的「沙發」的最大面積是多少？

1968 年，數學家 John Michael Hammersley 提出了一種簡單的解法。他將沙發設計成類似於一個電話聽筒的形狀，由兩個四分之一圓和一箇中間的矩形塊組成，中間的矩形塊中挖去了一個半圓形，從而得出的沙發最大面積為 2.2074。

但遺憾的是，這並不是最優解。

1992 年，美國數學家 Gerver 在 Hammersley 沙發的基礎上進行了改進，算出的最大沙發面積為 2.2195，雖然比 Hammersley 沙發面積略大一些，但在方法上卻聰明得多。

Gerver 沙發由 18 條不同的曲線段組成，其中包括圓弧、圓的漸開線以及圓的漸開線的漸開線等多種曲線。每條曲線段都由一個單獨的解析表示式描述，這使得 Gerver 沙發在數學上非常複雜。

Gerver 推測他的解決方案是最優的，但他無法證明他的沙發是唯一一個（並且是最大面積的）滿足這個強條件的沙發。

2024 年 12 月 2 日，韓國學者 Jineon Baek 發表了一篇新論文，聲稱證明了 Gerver 確實是正確的 —— 他的沙發是最優的。這項研究在社交媒體（如 x）上的熱度非常高，引起了很多人的關注。

^{圖源：x@Scientific_Bird}

^{圖源：x@morallawwithin}

不過，Jineon Baek 的證明論文足足有 119 頁，題目為《Optimality of Gerver’s Sofa》。相關專家驗證證明的正確性還需要一些時間。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

這道困擾人類 58 年的數學難題終於有了答案，不少網友也發表了自己的看法。

「我甚至不是數學家，自從 20 年前聽說這個問題後，我就一直在思考它。每次我需要把東西透過門時，我都會想到這個問題。」

「我沒想到這個形狀會是最優的，這 18 個部分看起來不夠優雅。」

證明過程簡述

論文共分 8 章，目錄如下：

摘要只有一句話，「透過證明具有 18 個曲線段的 Gerver 沙發的確達到了最大面積 2.2195，進而解決了移動沙發問題」。

下圖為 Gerver 的沙發 G。刻度表示構成 G 邊界的 18 條解析曲線和線段的端點，包含 G 的支撐走廊 L_t 在右側以灰色表示。

在證明 Gerver 的沙發 G 達到最大面積的過程中，作者除了在科學計算器上進行數值計算之外，沒有使用任何的計算機輔助。下圖 1.3 為從走廊（頂部）和沙發（底部）視角來看移動沙發的移動。

下面為作者要證明的定理 1.1.1。

這個問題之所以很難，是因為沒有一個通用的公式可以計算所有可能的移動沙發面積。因此，為了解決這個問題，作者證明了最大面積的移動沙發 S_max 的一個屬性，被稱為可注入性條件（injectivity condition）。

對於每個滿足條件的移動沙發 S，作者將定義一個更大的形狀 R，它類似於 Gerver 沙發的形狀（下圖 1.2）。那麼 R 的面積 Q (S) 就是 S 面積的上限，如果是 Gerver 沙發 G，則 Q (S) 與 S 的精確面積相匹配。S 的可注入性條件確保區域 R 的邊界形成 Jordan 曲線，從而能夠使用格林定理計算 Q (S)。

然後，移動沙發 S 面積的上界 Q (S) 相對於 S 的最大值如下所示：作者使用 Brunn-Minkowski 理論將 Q 表示為凸體元組 (K,B,D) 空間 L 上的二次函式（上圖 1.2），並使用 Mamikon 定理建立 Q 在 L 上的全域性凹性（下圖 1.13）。

作者使用加州大學戴維斯分校數學系教授 Dan Romik [Rom18] 關於 Gerver 沙發 G 的區域性最優方程，來證明 S = G 區域性最大化 Q (S)。由於 Q 是凹的，因此 G 也全域性最大化 Q。並且，由於上界 Q 與 G 處的面積相匹配，因此沙發 G 也全域性最大化了面積，從而證明定理 1.1.1。

具體來講，定理 1.1.1 的完整證明分為以下三個主要步驟：

步驟 1 ：限制最大面積移動沙發 S_max 的可能形狀；
步驟 2 ：建立 S_max 的可注入性條件；
步驟 3 ：構建滿足可注入性條件的移動沙發 S 面積的上界 Q (S)，並最大化關於 S 的 Q (S)。

作者提供了步驟 1、2、3 的更細分步驟。

其中步驟 1-(a) 將 S_max 的可能形狀縮小為單調沙發（monotone sofa），即由支撐走廊內角雕刻出的凹痕的凸體（下圖 1.4）。

步驟 1-(b) 重新證明了 Gerver 的一個重要區域性最優條件，即 S_max 的邊長應該相互平衡（定理 1.3.1）。

由於 Gerver 的原始證明存在邏輯漏洞，沒有解決移動沙發的連通性問題，因此作者引入了新的想法並重新進行了證明。步驟 1-(c) 使用前面的步驟和基本幾何來表明 S_max 在移動過程中旋轉了整整一個直角。

步驟 2 證明了 S_max 上的可注入性條件，這是之後建立上限 Q 的關鍵。它表明 L 內角 (0,0) 的軌跡在移動沙發的視角（參考系）中不會形成自環（下圖 1.9）。

為了證明 S_max 的這一條件，作者在 S_max 上建立了一個新的微分不等式（等式 (1.9)。該不等式受到了 Romik 的一個 ODE 的啟發，該 ODE 平衡了 Gerver 沙發的微分邊（等式 (1.8)）。

步驟 3-(a) 將所有移動沙發的空間 S 擴充套件為具有單射條件的凸體元組 (K,B,D) 的集合 L，使得每個 S 一一對映到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。該凸體描述了包圍 S 的區域 R 的不同部分（上圖 1.2）。

步驟 3-(b) 定義了擴充套件域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的邊界，並使用格林定理和 Brunn-Minkowski 理論中關於 K、B 和 D 的二次面積表示式來表示其面積 Q。同時使用單射條件和 Jordan 曲線定理嚴格證明 Q (K,B,D) 是 S 面積的上界。

步驟 3-(c) 使用 Mamikon 定理確定 Q 在 L 上的凹度（上圖 1.13）。步驟 3-(d) 計算由 Gerver 沙發 G 產生的凸體 (K,B,D) ∈ L 處 Q 的方向導數。Romik [Rom18] 在 G 上的區域性最優 ODE 用於表明方向導數始終為非正值。這意味著 G 是 Q 在 L 中的區域性最優值。Q 在 L 上的凹度意味著 G 也是 Q 在 L 中的全域性最優值。由於 G 處 Q 的值與面積匹配，沙發 G 也全域性最大化了面積，最終完成定理 1.1.1 的證明。

更具體的證明細節請參考原論文。

作者介紹

這篇論文的作者 Jineon Baek，本科畢業於韓國浦項科技大學，博士期間就讀於美國密歇根大學安娜堡分校。現為韓國首爾延世大學的博士後研究員，導師是 Joonkyung Lee。