0、總結
參考：https://blog.csdn.net/eric_lh/article/details/78994461
1、定義
參考：https://blog.csdn.net/qq_48736958/article/details/114543957
① 導數：
反映的是函式y=f(x)在某一點處沿x軸正方向的變化率。
再強調一遍，是函式f(x)在x軸上某一點處沿著x軸正方向的變化率/變化趨勢。
直觀地看，也就是在x軸上某一點處，如果f’(x)>0，說明f(x)的函式值在x點沿x軸正方向是趨於增加的；如果f’(x)<0，說明f(x)的函式值在x點沿x軸正方向是趨於減少的。
② 偏導數：
導數與偏導數本質是一致的，都是當自變數的變化量趨於0時，函式值的變化量與自變數變化量比值的極限。
直觀地說，偏導數也就是函式在某一點上沿座標軸正方向的的變化率。（注意：偏導數的方向不是切線方向，而是沿著自變數座標軸的方向）
區別在於：導數，指的是一元函式中，函式y=f(x)在某一點處沿x軸正方向的變化率；偏導數，指的是多元函式中，函式y=f(x1,x2,…,xn)在某一點處沿某一座標軸（x1,x2,…,xn）正方向的變化率。
③ 方向導數：
在前面導數和偏導數的定義中，均是沿座標軸正方向討論函式的變化率。
那麼當我們討論函式沿任意方向的變化率時，也就引出了方向導數的定義，即：某一點在某一趨近方向上的導數值。
通俗的解釋是：我們不僅要知道函式在座標軸正方向上的變化率（即偏導數），而且還要設法求得函式在其他特定方向上的變化率，而方向導數就是函式在其他特定方向上的變化率。
④ 梯度：
梯度的提出只為回答一個問題：函式在變數空間的某一點處，沿著哪一個方向有最大的變化率？
梯度定義如下：函式在某一點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值。
這裡注意三點：
1）梯度是一個向量，即有方向有大小；
2）梯度的方向是最大方向導數的方向，即函式增長最快的方向；
3）梯度的值是最大方向導數的值。
2、理解
如下視訊和文章有助於直觀理解：
https://www.bilibili.com/video/BV1sW411775X?from=search&seid=12365212042315344475
https://www.zhihu.com/question/36301367
注意：
假設一個二元函式z=f(x,y)，視覺化後是一個可以呈現在xyz座標系中的三維影像，求某個方向的偏導數或梯度時，原函式會降一維。
比如，求z對x的偏導數時，y就會為一個固定值，即降低一維，同時偏導數方向是自變數座標軸方向。
而二元函式z=f(x,y)的梯度方向，是方向導數取最大的方向（函式上升最快的方向），該方向在xy平面內，梯度值的大小為方向導數的最大值。
問：偏導數、方向導數、梯度有何區別？
答：偏導數只能對某一座標軸方向求導，方向導數可對自變數定義域任意方向求導，而梯度是方向導數值取最大的一個特殊情況。
