導數、偏導數、方向導數、梯度,有何區別?

十二維空間 發表於 2021-06-18

0、總結

參考:https://blog.csdn.net/eric_lh/article/details/78994461

導數、偏導數、方向導數、梯度,有何區別?

 

1、定義

參考:https://blog.csdn.net/qq_48736958/article/details/114543957

① 導數:

反映的是函式y=f(x)在某一點處沿x軸正方向的變化率。

再強調一遍,是函式f(x)在x軸上某一點處沿著x軸正方向的變化率/變化趨勢。

直觀地看,也就是在x軸上某一點處,如果f’(x)>0,說明f(x)的函式值在x點沿x軸正方向是趨於增加的;如果f’(x)<0,說明f(x)的函式值在x點沿x軸正方向是趨於減少的。

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② 偏導數:

導數與偏導數本質是一致的,都是當自變數的變化量趨於0時,函式值的變化量與自變數變化量比值的極限。

直觀地說,偏導數也就是函式在某一點上沿座標軸正方向的的變化率。(注意:偏導數的方向不是切線方向,而是沿著自變數座標軸的方向)

區別在於:導數,指的是一元函式中,函式y=f(x)在某一點處沿x軸正方向的變化率;偏導數,指的是多元函式中,函式y=f(x1,x2,…,xn)在某一點處沿某一座標軸(x1,x2,…,xn)正方向的變化率。

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③ 方向導數:

在前面導數和偏導數的定義中,均是沿座標軸正方向討論函式的變化率。

那麼當我們討論函式沿任意方向的變化率時,也就引出了方向導數的定義,即:某一點在某一趨近方向上的導數值。

通俗的解釋是:我們不僅要知道函式在座標軸正方向上的變化率(即偏導數),而且還要設法求得函式在其他特定方向上的變化率,而方向導數就是函式在其他特定方向上的變化率。

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④ 梯度:

梯度的提出只為回答一個問題:函式在變數空間的某一點處,沿著哪一個方向有最大的變化率?

梯度定義如下:函式在某一點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向導數的方向一致,而它的模為方向導數的最大值。

這裡注意三點:

 1)梯度是一個向量,即有方向有大小;
 2)梯度的方向是最大方向導數的方向,即函式增長最快的方向;
 3)梯度的值是最大方向導數的值。
導數、偏導數、方向導數、梯度,有何區別?

 

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2、理解

如下視訊和文章有助於直觀理解:

https://www.bilibili.com/video/BV1sW411775X?from=search&seid=12365212042315344475

https://www.zhihu.com/question/36301367

 

注意:

假設一個二元函式z=f(x,y),視覺化後是一個可以呈現在xyz座標系中的三維影像,求某個方向的偏導數或梯度時,原函式會降一維。

比如,求z對x的偏導數時,y就會為一個固定值,即降低一維,同時偏導數方向是自變數座標軸方向。

而二元函式z=f(x,y)的梯度方向,是方向導數取最大的方向(函式上升最快的方向),該方向在xy平面內,梯度值的大小為方向導數的最大值。

 

問:偏導數、方向導數、梯度有何區別?

答:偏導數只能對某一座標軸方向求導,方向導數可對自變數定義域任意方向求導,而梯度是方向導數值取最大的一個特殊情況。

 

 導數、偏導數、方向導數、梯度,有何區別?

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