四元數旋轉公式推導

任務

之前在瞭解關於slam的知識時，見到過四元數，但沒有理解。近日在學習偏微分方程時，發現一個系列視訊3Blue1Brown：深入淺出、直觀明瞭地分享數學之美。
獲益良多，又繼續觀看了感興趣的視訊，其中有四元數。隨著資料的逐漸增多，我也對四元數慢慢形成認知，在此做整理。
主要資料出自https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf

核心

四元數(quaternion)的表示：
$$q=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$$
與複數相類，可以表示為：
$$q=[a,\mathbf{u}](\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],a,x,y,z\in \mathbb{R})$$
將 $\mathbf{u}$ 視為三維空間，而 $a$ 處於和 $\mathbf{u}$ 垂直的第四維度。則對於三維的我們，看到的四元數的視覺化表達只能是切片的結果。

疑問

四元數的應用有剛體的旋轉，而演示最直觀的也是對其做體現，便從中入手。
在觀看視訊時，已經理解了四元數乘法的運算規則：
$$\begin{gathered} \mathbf{i}\mathbf{i}=\mathbf{j}\mathbf{j}=\mathbf{k}\mathbf{k}=-1 \\ \mathbf{i}\mathbf{j}=-\mathbf{j}\mathbf{i}=\mathbf{k} \\ \mathbf{j}\mathbf{k}=-\mathbf{k}\mathbf{j}=\mathbf{i} \\ \mathbf{k}\mathbf{i}=-\mathbf{i}\mathbf{k}=\mathbf{j} \end{gathered}$$

自身相乘和虛數的運算一致，不同元素的相乘與向量的叉乘（product）一致，符合右手定則（同樣不符合交換律）

舉個簡單的例子，對於某點 $p_0=1+\mathbf{j}$，也就是 $p_0=[1,\mathbf{u}](\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$,
若 左乘$q_0=\mathbf{i}$，同理，它的四元數表達可以為 $q_0=[0,\mathbf{u}](\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right])$,
結果 $p_0^{\prime }=q_0{p}_0=\mathbf{i}+\mathbf{k}$

從這個例子我們很難看出旋轉的規律，這也正是我們面對的問題，如何表示某個確定的旋轉？

在網頁連結的互動平臺https://eater.net親自感受時，觀察到座標實際旋轉恰為給定旋轉角的二倍，十分想理解其中緣由。

從三維旋轉說起

將三維空間中的旋轉表示的方法採用軸角式（Axis-Angle），即某個向量 $\mathbf{v}$ 圍繞軸 $\mathbf{u}$ 旋轉角度大小為 $\theta$後到達 ${\mathbf{v}}^{\prime }$，如圖所示（原圖來源：https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf）

將向量 $\mathbf{v}$ 分解為垂直於 $\mathbf{u}$ 的 ${\mathbf{v}}_{\perp }$ 和平行於 $\mathbf{u}$ 的 ${\mathbf{v}}_{\parallel }$
由圖易知：$${\mathbf{v}}_{\parallel }^{\prime }={\mathbf{v}}_{\parallel }$$
故只需計算${\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }$即可得 $${\mathbf{v}}^{\prime }={\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }+{\mathbf{v}}_{\parallel }(1)$$
將上圖垂直軸 $\mathbf{u}$ 的平面投影如下圖：

可知表示式：
$${\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }={\mathbf{v}}_{\perp }cos\theta +\mathbf{w}sin\theta (2)$$

這裡 $||\mathbf{w}||=||{\mathbf{v}}_{\perp }||$ 且 與 ${\mathbf{v}}_{\perp }$ 及 $\mathbf{u}$ 垂直，則可通過${\mathbf{v}}_{\perp }$ 及 $\mathbf{u}$ 叉乘獲得：
$$\mathbf{w}={\mathbf{v}}_{\perp }\times \frac{\mathbf{u}}{||\mathbf{u}||}$$
由旋轉軸大小不重要，則令其模長為1：$||\mathbf{u}||=1$ 則有：
$$\mathbf{w}={\mathbf{v}}_{\perp }\times \mathbf{u}(3)$$
此時，也可得出 ${\mathbf{v}}_{\perp }$ 和 ${\mathbf{v}}_{\parallel }$ 的表示式：

$${\mathbf{v}}_{\parallel }=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}(4)$$

$${\mathbf{v}}_{\perp }=\mathbf{v}-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}(5)$$
聯立式$(1)(2)(3)(4)(5)$可得：

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathbf{v}cos\theta +(1-cos\theta )(\mathbf{v}\cdot \mathbf{u})\cdot \mathbf{u}+\mathbf{v}\times \mathbf{u}sin\theta (5)$$
這個式子直觀的將變數和旋轉結果展示出來，符合我們的思維，這個式子是我們稍後四元數旋轉的基礎。

四元數旋轉!

一個奇妙的運算

兩個一般的四元數$q_1=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$ 與 $q_2=e+f\mathbf{i}+g\mathbf{j}+h\mathbf{k}$相乘，運用之前提到的乘法運算規則，整理結果如下：

換一種表示方法，更清楚規律為何：
$$q_1=[a,\mathbf{v}](\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}b\\ c\\ d\end{array}\right])$$
$$q_2=[e,\mathbf{u}](\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}f\\ g\\ h\end{array}\right])$$

本質源於四元數乘法運算的性質，我們得到如下表示式：

$$q_1{q}_2=[ae-\mathbf{v}\mathbf{u},e\mathbf{v}+a\mathbf{u}+\mathbf{v}\times \mathbf{u}](\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}b\\ c\\ d\end{array}\right],\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}f\\ g\\ h\end{array}\right])(6)$$

三維$\to$四維

從三維推廣到四維，首先簡化問題，把需要旋轉的四元數 $v$ 取 $v=[0,\mathbf{v}]$ ，則對應有：
$$v_{\perp }=[0,{\mathbf{v}}_{\perp }]v_{\parallel }=[0,{\mathbf{v}}_{\parallel }]u=[0,\mathbf{u}]$$
$$v_{\perp }^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}_{\perp }^{\prime }]v_{\parallel }^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}_{\parallel }^{\prime }]v^{\prime }=[0,{\mathbf{v}}^{\prime }]$$

將其代入式$(2)$可得：

$$v_{\perp }^{\prime }=v_{\perp }cos\theta +wsin\theta (7)$$
$$w=[0,\mathbf{w}](\mathbf{w}=\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp })$$
而根據式$(6)$計算四元數 $u$與$v_{\perp }$相乘恰有：

$$u{v}_{\perp }=[-\mathbf{u}\cdot {\mathbf{v}}_{\perp },\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }]$$
由 $\mathbf{v}$ 與 $\mathbf{u}$ 在同一平面，故 ${\mathbf{v}}_{\perp }$ 垂直於此平面，即 ${\mathbf{v}}_{\perp }\cdot \mathbf{u}=0$
原式化為：
$$u{v}_{\perp }=[0,\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}_{\perp }]=[0,\mathbf{w}]$$
即：
$$u{v}_{\perp }=w(8)$$
聯立式$(7)(8)$得：

$$v_{\perp }^{\prime }=v_{\perp }cos\theta +u{v}_{\perp }sin\theta$$

由分配律，化為：
$$v_{\perp }^{\prime }=(cos\theta +usin\theta )v_{\perp }(9)$$

取$$q=cos\theta +usin\theta =[cos\theta ,\mathbf{u}sin\theta ]$$

式$(9)$表示為：
$$v_{\perp }^{\prime }=q{v}_{\perp }(9)$$

由式$(1)$推知：
$$v^{\prime }=v_{\perp }^{\prime }+v_{\parallel }(10)$$
聯立$(9)(10)$得：
$$v^{\prime }=q{v}_{\perp }+v_{\parallel }(10)$$

二倍角度來源

根據四元數乘法性質，推得：
若$q=[cos\theta ,\mathbf{u}sin\theta ]$,則有
$$q^2=qq=[cos2\theta ,\mathbf{u}sin2\theta ]$$

取$$q=p^2$$
將式$(10)$化為：

$$v^{\prime }=pp{v}_{\perp }+p{p}^{-}1v_{\parallel }(11)$$

與線性代數中的性質相似，這裡$||p||=1$，有：
$$p^{-1}=p\ast (12)$$

式$(11)$化為：

$$v^{\prime }=pp{v}_{\perp }+p{p}^{\ast }{v}_{\parallel }(13)$$

通過式$(6)$，我們可得兩個結論：
$$q_1{q}_2=[ae-\mathbf{v}\mathbf{u},e\mathbf{v}+a\mathbf{u}+\mathbf{v}\times \mathbf{u}](6)$$

1. 對於$v_{\parallel }=[0,{\mathbf{v}}_{\parallel }]$,$q=[\alpha ,\beta \mathbf{u}]$，其中 $v_{\parallel }\parallel q$，則有：
   $$q{v}_{\parallel }=v_{\parallel }q(14)$$
2. 對於$v_{\perp }=[0,{\mathbf{v}}_{\parallel }]$,$q=[\alpha ,\beta \mathbf{u}]$，其中 $v_{\perp }\perp q$，則有：
   $$q{v}_{\perp }=v_{\perp }q\ast (15)$$

聯立式$(13)(14)(15)$得：
$$v^{\prime }=p{v}_{\perp }p\ast +p{v}_{\parallel }{p}^{\ast }$$
由式$(12)$：
$$v^{\prime }=p{v}_{\perp }{p}^{-1}+p{v}_{\parallel }{p}^{-1}$$

整理得：
$$v^{\prime }=p(v_{\perp }+v_{\parallel })p^{-1}$$
最終即為：
$$v^{\prime }=pv{p}^{-1}$$

正是互動網頁所顯示的表示式！