這裡主要討論多元微分學中學到的高斯公式對於物理上的高斯定理的推導（目前是對於靜電荷的高斯定理）。本身想連著Stokes公式一大堆一塊寫，但是考慮到工程量太大了，所以嘗試分篇來寫吧。
前置定理基礎
標準的高斯公式的形式如下（推導略）
\[\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint_{\partial \Omega}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)
\]
其中 \(\Omega \subset R^3\) 為一有界區域， \(\partial \Omega\) 表示其定向封閉曲面外側。當 \(\Omega\) 內任意點上式均有意義時公式成立。
將上式推廣至向量形式，對於一微分的面積向量 \(\mathrm{d}\vec{S}\) 有 \(\mathrm{d}\vec{S}=(\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\)
取向量 \(\vec{F}=(P,Q,R)\) 那麼有
\[\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = (P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\\
\nabla \cdot \vec{F} = (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})
\]
所以高斯公式還可以寫為
\[\int_{\partial \Omega}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\sigma} = \int_{\Omega}\nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}\vec{\mu}
\]
其中 \(\sigma , \mu\) 分別表示面積微元和體積微元。
除此之外還需要點電荷場強公式 \(\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}\)
證明過程
由電場疊加定理，我們可以把複雜的電荷分佈情況化簡為單一點電荷的情況。假設該點電荷的電荷量為 \(q\) ，位置在 \((a,b,c)\) ，那麼可以寫出任意高斯面的電通量為
\[\Phi_{\partial D} = \int_{\partial D}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\partial D}\frac{\vec{r}}{r^3}\cdot\mathrm{d}\vec{S}
\]
取 \(\vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3}\) ，有
\[\vec{F} = \frac{(x-a,y-b,z-c)}{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^{\frac{3}{2}}}
\]
代入前置準備的高斯公式，可得
\[\begin{aligned}
\int_{\partial D}\frac{\vec{r}}{r^3}\cdot\mathrm{d}\vec{S} &= \int_{D}\nabla\cdot\vec{F}\mathrm{d}\vec{V}\\
&=\int_D(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}\vec{V}\\
&=\int_D(\frac{1}{r^3}-\frac{3(x-a)^2}{r^5}+\frac{1}{r^3}-\frac{3(y-b)^2}{r^5}+\frac{1}{r^3}-\frac{3(z-c)^2}{r^5})\mathrm{d}\vec{V}\\
&=0
\end{aligned}
\]
但這是不對的。因為如果 \((a,b,c)\in D\) ，那麼在點 \((a,b,c)\)處該式子是無意義的，不能應用高斯公式。按照與格林公式遇到相似問題時的類似處理方式，可以將 \((a,b,c)\)周圍的一小部分挖去，分別求兩面之間的積分和挖去面的積分再求差即可。
那麼根據上式，當點電荷不在高斯面內部時，高斯面的電通量為0。點電荷在高斯面內部時，高斯面的電通量與高斯面形狀無關。
現在特殊地取一半徑為 \(r_0\) ，球心為點電荷位置的球面為高斯面。由於球面處處電場方向與面積微元方向相同，向量內積可退化為標量乘法。於是可得
\[\begin{aligned}
\Phi_{\partial D} &= \int_{\partial D}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\
&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\partial D}\frac{\vec{r}}{r_0^3}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\
&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\partial D}\frac{1}{r_0^2}\mathrm{d}S\\
&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot 4\pi r_0^2 \cdot \frac{1}{r_0^2}\\
&=\frac{q}{\varepsilon_0}
\end{aligned}
\]
因此單個點電荷對於任意高斯面產生的電通量為
\[\Phi_{\partial D} =
\begin{cases}
\frac{q}{\varepsilon_0}, & \text{if}\;(a,b,c) \in D\\
0, & \text{else}
\end{cases}
\]
根據電場疊加定理，對於多個點電荷的情況就有
\[\Phi_{\partial D}=\sum \Phi_{i\partial D} =\frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{(a_i,b_i,c_i)\in D}q_i
\]
推廣到連續電荷有
\[\Phi_{\partial D}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_D\rho\mathrm{d}V
\]
改寫為高斯定理的標準形式為
\[\Phi_E = \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{S內} q_i = \frac{1}{\varepsilon_0}\int \rho \mathrm{d}V
\]
參考資料
除參考PPT外，在推導以及實際編寫過程中還參考了以下文章：
- 高斯定律的純數學推導 by 求知似渴
- 從高斯公式到高斯定理 by 仰望星空
寫都寫了順便要很是感謝一下LaTeX公式手冊提供
- LaTeX公式手冊(全網最全) by 櫻花贊