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給定一個向量函式\(( \mathbf{s}(t) )\)，
它的導數是\(( \mathbf{s}'(t) = \frac{d\mathbf{s}}{dt} )\)，
而單位切向量是\(( \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||} )\)。
這裡的單位切向量\(( \mathbf{T}(t) )\)指向曲線在點t處的切線方向，並且其長度為1。這和\(\mathbf{s}'(t)\)並不完全相等，因為後者可能有任意的長度，而前者被規範化了。
對於向量函式 \((\mathbf{s}(t))\) 的單位切向量 \((\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||})\)，其導數 \((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 描述了單位切向量隨時間 (t) 的變化率，即切向量方向或大小的變化速度。
計算 \((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 需要應用鏈式法則和商法則，考慮到 \((\mathbf{T}(t))\) 是 \((\mathbf{s}'(t))\) 和其模長 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 的函式。具體地，我們有：
\([ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||} ]\)
對兩邊同時求導得：
\([ \frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||}\right) ]\)
這涉及到 \((\mathbf{s}'(t))\) 的導數 \((\mathbf{s}''(t))\) 以及 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 的導數。由於 \((||\mathbf{s}'(t)||)\) 是一個標量，其導數涉及向量的模長對向量自身的導數，這通常會引入額外的項，如向量的方向和模長的變化率。
\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 的具體表示式依賴於 \((\mathbf{s}(t))\) 的具體形式，但通常它會涉及到曲率 \((\kappa(t))\) 和法向量 \((\mathbf{N}(t))\) 的概念，其中 \((\mathbf{N}(t))\) 是單位切向量 \((\mathbf{T}(t))\) 在點 (t)$ 處的單位法向量。
在許多情況下，\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 可以表示為 \((\kappa(t)\mathbf{N}(t))\)，其中 \((\kappa(t))\) 是曲線在點 (t)$ 處的曲率。
因此，\((\frac{d\mathbf{T}}{dt})\) 的確切值需要根據具體的向量函式 \((\mathbf{s}(t))\) 來確定。
給定 \(\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{s}'(t)}{||\mathbf{s}'(t)||}\)，\(\frac{d\mathbf{T}}{dt}\) 的計算涉及到鏈式法則和商法則的使用
\([ \frac{d\mathbf{T}}{dt} = \frac{\mathbf{s}''(t)||\mathbf{s}'(t)|| - \mathbf{s}'(t)\left(\mathbf{s}'(t) \cdot \mathbf{s}''(t)\right)}{||\mathbf{s}'(t)||^3} ]\)
這裡，分子的第一部分是 \((\mathbf{s}''(t))\) 乘以其模長，代表加速的方向；
第二部分是 \((\mathbf{s}'(t))\) 與 \((\mathbf{s}''(t))\) 點積的結果，乘以 \((\mathbf{s}'(t))\)，表示速度向量在加速方向上的投影。分母是 \((\mathbf{s}'(t))\) 模長的三次方，用於保證結果仍然是單位向量。