一文搞定二叉排序(搜尋)樹

前言

前面介紹學習的大多是線性表相關的內容，把指標搞懂後其實也沒有什麼難度，規則相對是簡單的，後面會講解一些比較常見的資料結構，用多圖的方式讓大家更容易吸收。

在資料結構與演算法中，樹是一個比較大的家族，家族中有很多厲害的成員，這些成員有二叉樹和多叉樹(例如B+樹等)，而二叉樹的大家族中，二叉搜尋樹(又稱二叉排序樹)是最最基礎的，在這基礎上才能繼續擴充學習AVL(二叉平衡樹)、紅黑樹等知識。

對於二叉排序樹而言，本章重點關注其實現方式以及插入、刪除步驟流程，我們會手寫一個二叉排序樹，二叉樹遍歷部分的內容比較多會單獨詳細講解。

什麼是樹

樹是一種資料結構，它是由n(n>=1)個有限結點組成一個具有層次關係的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。

樹是遞迴的，將樹的任何一個節點以及節點下的節點都能組合成一個新的樹，所以樹的很多問題都是使用遞迴去完成。

根節點： 最上面的那個節點(root)，根節點沒有父節點，只有子節點（0個或多個都可以）

層數： 一般認為根節點是第1層(有的也說第0層)，而樹的高度就是層數最高(上圖層數開始為1)節點的層數

節點關係:

• 父節點：連線該節點的上一層節點,
• 孩子節點: 和父節點對應，上下關係。而祖先節點是父節點的父節點(或者祖先）節點。
• 兄弟節點：擁有同一個父節點的節點們！

節點的度: 就是節點擁有孩子節點的個數(是直接連線的孩子不是子孫).

樹的度: 就是所有節點中最大 (節點的度)。同時，如果度大於0的節點是分支節點,度等於0的節點是葉子節點（沒有子孫）。

相關性質：

二叉樹

二叉樹是一樹的一種，但應用比較多，所以需要深入學習，二叉樹的每個節點最多隻有兩個子節點(但不一定非得要有兩個節點)。

二叉樹與度為2的樹的區別：
1、度為2的的樹必須有三個節點以上(否則就不叫度為二了，一定要先存在)，二叉樹可以為空。
2、二叉樹的度不一定為2,比如斜樹。
3、二叉樹有左右節點區分，而度為2的樹沒有左右節點的區分。

幾種特殊二叉樹：

滿二叉樹：高度為n的滿二叉樹有(2^n) -1個節點

完全二叉樹：上面一層全部滿，最下一層從左到右順序排列

二叉排序樹：樹按照一定規則插入排序(本文詳解)。
平衡二叉樹：樹上任意節點左子樹和右子樹深度差距不超過1(後文詳解).

二叉樹性質：

1、二叉樹有用樹的性質

2、非空二叉樹葉子節點數=度為2的節點數+1.本來一個節點如果度為1.那麼一直延續就一個葉子，但如果出現一個度為2除了延續原來的一個節點，會多出一個節點需要維繫。所以到最後會多出一個葉子。

3、非空第i層最多有2^(i-1)個節點。

4、高為h的樹最多有(2^h)-1個節點(等比求和)。

二叉樹一般用鏈式儲存，這樣記憶體利用更高，但二叉樹也可以用陣列儲存的(經常會遇到)，各個節點對應的下標是可以計算出來的，就拿一個完全二叉樹若從左往右，從上到下編號如圖：

二叉排序(搜尋)樹

概念

前面鋪墊那麼多，我們們言歸正傳，詳細講解並實現一個二叉排序樹，二叉搜尋樹擁有二叉樹的性質，同時有一些自己的規則：

首先要了解二叉排序樹的規則：從任意節點開始，節點左側節點值總比節點右側值要小。

例如一個二叉排序樹依次插入15，6，23，7，4，71，5，50會形成下圖順序

構造

二叉排序樹是由若干節點(node)構成的，對於node需要這些屬性：left，right，和value。其中left和right是左右指標指向左右孩子子樹，而value是儲存的資料，這裡用int 型別。

node類構造為：

class node {//結點
	public int value;
	public node left;
	public node right;
	public node()
	{
	}
	public node(int value)
	{
		this.value=value;
		this.left=null;
		this.right=null;
	}
	public node(int value,node l,node r)
	{
		this.value=value;
		this.left=l;
		this.right=r;
	}			
}

既然節點構造好了，那麼就需要節點等其他資訊構造成樹，有了連結串列構造經驗，很容易得知一棵樹最主要的還是root根節點。
所以樹的構造為：

public class BinarySortTree {
	node root;//根
	public BinarySortTree()
	{root=null;}
	public void makeEmpty()//變空
	{root=null;}
	public boolean isEmpty()//檢視是否為空
	{return root==null;}
	//各種方法
}

主要方法

既然已經構造好一棵樹，那麼就需要實現主要的方法,因為二叉排序樹中每個節點都能看作一棵樹。所以我們建立方法的是時候加上節點引數(方便一些遞迴呼叫)

findmax(),findmin()

findmin()找到最小節點：

因為所有節點的最小都是往左插入，所以只需要找到最左側的返回即可，具體實現可使用遞迴也可非遞迴while迴圈。

findmax()找到最大節點：

因為所有節點大的都是往右面插入，所以只需要找到最右側的返回即可，實現方法與findmin()方法一致。

程式碼使用遞迴函式

public node findmin(node t)//查詢最小返回值是node，呼叫檢視結果時需要.value
{
	if(t==null) {return null;}
	else if(t.left==null) {return t;}
	else return(findmin(t.left));	
}
public node findmax(node t)//查詢最大
{
	if(t==null) {return null;}
	else if(t.right==null) {return t;}
	else return(findmax(t.right));	
}

isContains(int x)

這裡的意思是查詢二叉查詢樹中是否存在值為x的節點。

在具體實現上，根據二叉排序樹左側更小，右側更大的性質進行往下查詢，如果找到值為x的節點則返回true，如果找不到就返回false，當然實現上可以採用遞迴或者非遞迴，我這裡使用非遞迴的方式。

public boolean isContains(int x)//是否存在
{
	node current=root;
	if(root==null) {return false;}
	while(current.value!=x&&current!=null) 
	{
		if(x<current.value) {current=current.left;}
		if(x>current.value) {current=current.right;}
		if(current==null) {return false;}//在裡面判斷如果超直接返回
	}
	//如果在這個位置判斷是否為空會導致current.value不存在報錯
	 if(current.value==x) {return true;}		
	return false;		
}

insert(int x)

插入的思想和前面isContains(int x)類似，找到自己的位置(空位置)插入。

但是具體實現上有需要注意的地方，我們要到待插入位置上一層節點，你可能會疑問為什麼不直接找到最後一個空，然後將current賦值過去current=new node(x)，這樣的化current就相當於指向一個new node(x)節點，和原來樹就脫離關係(原樹相當於沒有任何操作)，所以要提前通過父節點判定是否為空找到位置，找到合適位置通過父節點的left或者right節點指向新建立的節點才能完成插入的操作。

public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
{
	node current = root;
	if (root == null) {
		root = new node(x);
		return root;
	}
	while (current != null) {
		if (x < current.value) {
			if (current.left == null) {
				return current.left = new node(x);}
			else current = current.left;}
	    else if (x > current.value) {
			if (current.right == null) {
				return current.right = new node(x);}
			else current = current.right;
		}
	}
	return current;//其中用不到
}

比如說上面樹插入值為51的節點。

delete(int x)

刪除操作算是一個相對較難理解的操作了，因為待刪除的點可能在不同位置所以具體處理的方式也不同，如果是葉子即可可直接刪除，有一個孩子節點用子節點替換即可，有兩個子節點的就要先找到值距離待刪除節點最近的點(左子樹最大點或者右子樹最小點)，將值替換掉然後遞迴操作在子樹中刪除已經替換的節點，當然沒具體分析可以看下面：

刪除的節點沒有子孫:

這種情況不需要考慮，直接刪除即可(節點=null即可)(圖中紅色點均滿足這種方式)。

一個子節點為空：

此種情況也很容易，直接將刪除點的子節點放到被刪除位置即可。

左右節點均不空

左右孩子節點都不為空這種情況是相對比較複雜的，因為不能直接用其中一個孩子節點替代當前節點(放不下，如果孩子節點也有兩個孩子那麼有一個節點無法放，例如拿下面71節點替代)

如果拿19或者71節點填補。雖然可以保證部分側大於小於該節點，但是會引起合併的混亂.比如你若用71替代23節點。那麼你需要考慮三個節點(19,50,75)之間如何處理，還要考慮他們是否滿，是否有子女，這是個複雜的過程，不適合考慮。

所以，我們要分析我們要的這個點的屬性：能夠保證該點在這個位置仍滿足二叉搜尋樹的性質(找到值最近的)，那麼子樹中哪個節點滿足這樣的關係呢？

左子樹中最右側節點或者右子樹中最左側節點都滿足，我們可以選一個節點將待刪除節點值替換掉(這裡替換成左子樹最右側節點)。

這個點替換之後該怎麼辦呢？很簡單啊，二叉樹用遞迴思路解決問題，再次呼叫刪除函式在左子樹中刪除替換的節點即可。

這裡演示是選取左子樹最大節點(最右側)替代，當然使用右子樹最小節點也能滿足在這待刪除的大小關係，原理一致。整個刪除演算法流程為：

這部分操作的程式碼為：

public node remove(int x, node t)// 刪除節點
{
  if (t == null) {
    return null;
  }
  if (x < t.value) {
    t.left = remove(x, t.left);
  } else if (x > t.value) {
    t.right = remove(x, t.right);
  } else if (t.left != null && t.right != null)// 左右節點均不空
  {
    t.value = findmin(t.right).value;// 找到右側最小值替代
    t.right = remove(t.value, t.right);
  } else // 左右單空或者左右都空
  {
    if (t.left == null && t.right == null) {
      t = null;
    } else if (t.right != null) {
      t = t.right;
    } else if (t.left != null) {
      t = t.left;
    }
    return t;
  }
  return t;
}

完整程式碼

這個完整程式碼是筆者在大三時候寫的，可能有不少疏漏或者不規範的地方，僅供學習參考，如有疏漏錯誤還請指正。

二叉排序樹完整程式碼為：

package 二叉樹;

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class BinarySortTree {
	class node {// 結點
		public int value;
		public node left;
		public node right;

		public node() {
		}

		public node(int value) {
			this.value = value;
			this.left = null;
			this.right = null;
		}

		public node(int value, node l, node r) {
			this.value = value;
			this.left = l;
			this.right = r;
		}
	}

	node root;// 根

	public BinarySortTree() {
		root = null;
	}

	public void makeEmpty()// 變空
	{
		root = null;
	}

	public boolean isEmpty()// 檢視是否為空
	{
		return root == null;
	}

	public node findmin(node t)// 查詢最小返回值是node，呼叫檢視結果時需要.value
	{
		if (t == null) {
			return null;
		} else if (t.left == null) {
			return t;
		} else
			return (findmin(t.left));
	}

	public node findmax(node t)// 查詢最大
	{
		if (t == null) {
			return null;
		} else if (t.right == null) {
			return t;
		} else
			return (findmax(t.right));
	}

	public boolean isContains(int x)// 是否存在
	{
		node current = root;
		if (root == null) {
			return false;
		}
		while (current.value != x && current != null) {
			if (x < current.value) {
				current = current.left;
			}
			if (x > current.value) {
				current = current.right;
			}
			if (current == null) {
				return false;
			} // 在裡面判斷如果超直接返回
		}
		// 如果在這個位置判斷是否為空會導致current.value不存在報錯
		if (current.value == x) {
			return true;
		}
		return false;
	}

	public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
	{
		node current = root;
		if (root == null) {
			root = new node(x);
			return root;
		}
		while (current != null) {
			if (x < current.value) {
				if (current.left == null) {
					return current.left = new node(x);}
				else current = current.left;}
		    else if (x > current.value) {
				if (current.right == null) {
					return current.right = new node(x);}
				else current = current.right;
			}
		}
		return current;//其中用不到
	}

	public node remove(int x, node t)// 刪除節點
	{
		if (t == null) {
			return null;
		}
		if (x < t.value) {
			t.left = remove(x, t.left);
		} else if (x > t.value) {
			t.right = remove(x, t.right);
		} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右節點均不空
		{
			t.value = findmin(t.right).value;// 找到右側最小值替代
			t.right = remove(t.value, t.right);
		} else // 左右單空或者左右都空
		{
			if (t.left == null && t.right == null) {
				t = null;
			} else if (t.right != null) {
				t = t.right;
			} else if (t.left != null) {
				t = t.left;
			}
			return t;
		}
		return t;
	}
}

結語

這裡我們學習瞭解了樹、二叉樹、以及二叉搜素樹，對於二叉搜素樹插入查詢比較容易理解，但是實現的時候要注意函式引數的引用等等。

偏有難度的是二叉樹的刪除，利用一個遞迴的思想，分類討論待刪除情況，要找到特殊情況和普通情況，遞迴一定程度也是問題的轉化(轉成自己相同問題，作用域減小)需要思考。

下面還會介紹二叉樹的三序遍歷(遞迴和非遞迴)和層序遍歷。這些都是比較經典熱門的問題需要深入瞭解。

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