LeetCode509(力扣509) ：斐波那契數列 C++ 多種思路與詳細解析

509 斐波那契數列

斐波那契數，通常用 F(n) 表示，形成的序列稱為斐波那契數列。該數列由 0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

給定 N，計算 F(N)。

示例 1：

輸入：2
輸出：1
解釋：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.

示例 2：

輸入：3
輸出：2
解釋：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2.

示例 3：

輸入：4
輸出：3
解釋：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3.

提示：

0 ≤ N ≤ 30

我的提交程式碼：

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N == 0) return 0;
        if (N == 1) return 1;
        return fib(N - 1) + fib(N - 2);
    }
};

我的思想

沒有思想這個題，學習遞迴的必會程式碼啊！都不需要寫測試程式碼，直接提交就好啦~提交是能通過，但是同時拿去提交別的斐波那契題的時候就不行拉，會超時。因為這是遞迴，會重複計算很多沒有用的數，因此接下來要去學習優化的程式碼。

畫出遞迴樹：

​ 可以看出會重複一些fib（n）的值，使得演算法的效率變低

子問題的個數為： 遞迴樹中節點的總數，由樹的特徵可以得到遞迴計算斐波那契數列的時間複雜度為O（2^n）爆炸拉成指數增長。

官方題解二：記憶化自底向上的方法

自底向上通過迭代計算斐波那契數的子問題並儲存已計算的值，通過已計算的值進行計算。減少遞迴帶來的重複計算。

演算法：

• 如果 N 小於等於 1，則返回 N。
• 迭代 N，將計算出的答案儲存在陣列中。
• 使用陣列前面的兩個斐波那契數計算當前的斐波那契數。
• 計算到 N，則返回它的斐波那契數。

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) {
            return N;
        }
        return memoize(N);
    }

public:
    int memoize(int N) {
        vector<int> temp(N+1);
        temp[0] = 0;
        temp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            temp[i] = temp[i - 1] + temp[i - 2];
        }
        return temp[N];
    }
};

由此兩種方法的執行用時可以明顯看到演算法效率的優化。此種演算法以空間換了時間，新開闢了一個N+1的陣列來儲存在每一個fib（n）時候的值。此時的空間複雜度為O（n+1）

此處又可以對空間進行優化了，那麼我們每一次計算其實只需要n前面的兩個數而已，反正也是從底向頂，最後要計算n的斐波那契數為多少，因為底部算過的數對我們之後並沒有用，我們可以建立3個變數然後不斷覆蓋就能節省空間了。

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) {
            return N;
        }
        return memoize(N);
    }

public:
    int memoize(int N) {
        int sum = 0;
        int first = 0;
        int second = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            sum = first + second;
            first = second;
            second = sum;
            
        }
        return sum;
    }
};

可以顯然的看到，記憶體消耗有明顯的減低。此時的空間複雜度為O（1）

我學會拉

1. 能不用遞迴，別用遞迴，複雜度爆炸！
2. 分析子問題，可以用迴圈迭代來解決問題。
3. 在解出一個問題後，要多思考如何操作能使得程式碼效率更高。例如此題，用過一次就不用的記憶體空間，我們可以考慮少申請，不斷覆蓋。